MÉTHODE D'INTÉGRATION PAR SÉRIES
Gt'Ue méthode est basée sur le principe suivant :
Soit une fonction f[x) laquelle développée en série donne :
si la série du second membre est convergente pour toute, valeur de r comprise entre deux limites a et x, la série :
(2) / f(x).dx= I u,dx[+ I ir^.dx-\- j u,.<ix-.h
est aussi convergente.
En effet, la série (i) étant convergente, on pourra toujours prendre « assez grand pour que R soit moindre que toute quantité donnée Si
je démontre que j R.dx jouit de la même propriété, il sera établi J a
que la série (2) est convergente.
L'inégalité R < e donne :
I R.iér< / i.dx.
j t.dx — { j lix — s ( .r — a]
donc
I R.iÉr <i $ l x — a ).
la quantité t (a- — a) sera elle-même moindre que toute quantité
donnée si x et « sont des quantités finies. Donc la série (2) est convergente.
• Développement de arc ty x en série.
de
d arc tg x =
d’où ,
r dx
J = arc '« r +
et puisque pour x = 0, arc tg x == 0, ôn a :
dx
i llx
J nrT 3 = arc ■ r -
La divisiop algébrique doinie :
nous aurons donc :
=fc 1 — x 3 4- x* — x"-t-
/ x , x X . ,rX „ X
r +^= / dx ~i. X ' ldæ+ J ***—'-±1 w dx -
ou bien puisque :
J arc ■ *• / Jx =- T ' f *^*=4* J E,d *=' y*
arc tg x — x t + — +
Cette formule est convergente pour x < 1 . Elle est aussi convergente pour x = 1 , car les termes de la série :
sont alternativement positifs et négatifs et vont en décroissant.
Pour x = 1 , arc tg x = VH" = - .
on a donc :
et par suite :
Cette série permet de calculer le nombre t, elle est peu commode en ce que sa convergence n’est pas assez rapide. II faudrait y prendre un trop grand nombre de termes pour calculer t avec une approximation suffisante.
Ditxloppement de are un x en série et éalcul du nombre
On a :
d arc sin x —
<lx
dx .. 2
— (1 — x*) .dx.
par suite :
/ dx r 2
— *^r=. = / (I — x r \ . d. r — arc sin x + C.
et puisque pour x = 0, arc sin x = 0, on a :
' I dx
I — — = arc sm x.
Le développement du binôme donne :
d'où :
J (i — x ! ) ^ dx =J (Lr+^J x 1 .
274 J X dÆ + 2X6 ' J
dx +
et eu intégrant :
(*) arc slnx = x + 273 2X5 2X677 xM -
Tel est le développement de arc sin x en série.
Pour x = arc sin x = 30° = -, en sorte que la formule (1) trouvée ci-dessus donne :
(iclte série est convergente et permet de calculer i.
