PROBLÈME DES TANGENTES

Tangente à une courbe algébrique.

L’équation d’une courbe étant f(x,y)= 0, l’équation de sa tangente a pour coefficient angulaire :

dj

dx'

pour déterminer le rapport on différence l’équation f[x, y)=0 et l’on obtient comme on l’a vu plus haut :

dy dx '

dx <Ç‘

Expression de la

On a

tous- tangente.

Soit une courbe AA’ rapportée à des axes rectangulaires : considérons la tangente MT de cette courbe au point M.

La portion TP de l’axe des x, comprise entre l'ordonnée du point de contact et la tangente, est appelée la sous-tangente. La longueur TP se désigne par ST.

Le triangle MTP donne :

™ T -=îrSrp

donc pour la valeur absolne de la sous-tangente : • gT ’J- dx

dy

Exprtuion de la longueur de.la tangente.

On appelle longueur de la tangente, la portion MT de la tangente comprise entre le.point de tangence et l’axe des x.

En appelant T cette longueur, le triangle rectangle MTP donne :

T* = v , + TP = V* + ST-

d’où :

par suite :

/. . dx*

On peut mettre T sous la fotmc

T = Ty

en sorte que y dy* -+- dx’ représentant dt, on a aussi :

dy

Exprution de la tout-normale.

L’ordonnée d'un point M étant MP, la normale en ce point étant MN< la distance NP est .dite la * sous-normale, que l’on désigne par SN.

Le triangle rectangle MNP donne,:

x NP ou SN = MP. tg. PM N.

d'où :

• r *. SN =

• fa

Telle est l'expression tle la sous-normale. * Remarque. — L’équation de la parabole étant

on en lire :

et par suite.

fa y

8N ou y ÿ '

Résultat obienu en géométrie.

Longueur de la sous-normale. — En appelant N la longueur MN de la normale, le triangle, rectangle MNP donne : .

N = l/m + PM = y. \Zi + % j flr

ou bien encore :

N = h v/rfx ’ + d /= 9 ds-

De -la tangente à une courbe polaire .

La tangente MT, en un point M d’une courbe AA’, rapportée à des coordonnées polaires, est entièrement déterminée par l’angle PMT, qu'elle fait avec le rayon vecteur du point de fcontact.

■Cherchons à déterminer cet angle PMT que nous appclle- . ,, rons T.

A cet effet, considérons un point M’ infiniment voisin de M; menons le rayon vecteur de M’ et décrivons de P comme centre, avec PM pour rayon, un arc de cercle qui coupèra PM' en I) et joignons MM', alors :

angle MPM' = <M, M'D = rfi-, arcMD = r.d$.

Ceci posé, le point M’ élant infiniment voisin de M, le triangle MM’D

ANM.YSK. *’’•■* 25

peut être considéré comme rectiligne et rectangle, car dans le cerdr ch «que rayon est perpendiculaire' à la courbe; remarquons en outre que dans ce triangle, l’angle PM'M devient l’angle V, lorsqu'à la limite le point M' se confond avec le point M. Ce triangle rectangle M’MD donne : '

MD = M'D. tg V.

d’où :

et par suite :

r,d j = dr tg V.

Hemiirque. — Pour un point dont la tangente. est parallèle à l’axe polaire, on a :

Pour un point dont la tangente est perpendiculaire à l'axa polaire, «n a :

De la terne-tangente et de la tout-normale à une courbe polaire.

Soient : PM le rayon vectenr d’un point M, d’une courbe rapportée à des coordonnées polaires, et MT et MN la tangente et'la normale de ce point.

Au pôle P menons la perpendiculaire PP' sur le rayon vecteur:

Ips longueurs TP et PN sont dite»

la sout-tangente «fl la eous-normate du point M.

Pour calculer ces distances, les triangles rectangles PMT et PMN dopnent ; .. .

d’où 4=^ 2 k . ' .

d’où

"rfr •

Longueur* île In langenle et de la normale.

Le» longueur» de la tangeute et de la formate sont le» distances MT et MN : pour calculer ce» longueurs, on a sur la ligure :

' , T= > // Tp‘t-PM 7 d’où T = rl/n-r»(~)

. N ^ j/\P + MP. d’où N \/ ,» + (^)\

ArPLir.nTiois.

Spirale d'Archimède.

s Si l’on constr.uit la courbe dont l’équation est r — a. P, on obtient la courbe ci-des»^, laquelle est dite tpirale d" Archimède*

Le rayon, vecteur y est proportionnel à l’angle 6. La courbe est tangente à l’axe polaire au pdle.

L’équation r = aô, donne :

dr

•ft

ou

SN = a.

Donc : ilans la tpirale d' Archtmède, la tout-normale etl contlanle.

Cette courbe est la seule dan» laquelle la sous-normale soit constants.

Spirale logarithmique.

lût construisant la courbe ddnt l’équation est r — a , on obtient la

courbe ci-dessous, laquelle est appelée tpirale logarithmique.

Si a est > 1, la courbe part de PA == 1 et s’ouvre de plus en plus pour des valeurs croissantes et positions de 6.

x Pour des valeurs négatives de • f, r va indéfiniment en décroissant. Cette spirale s'approche donc indéfiniment du pôle sans jamais l'atteindre.

Si n est < 1 , on obtient pour les mêmes valeurs négatives de S , et pour les valeurs positives, les mêmes valeurs obtenues pour r. C’est ta même courbe située symétriquement par rapport à l'axe polaire.

En difTérentianl l'équation : ' *

on trouve :

dr = u . logn.dé=r. loga. di.

et par suite : • "

16 ' ou dF=to^ = constan,e ' * -

Donc : dans la spirale logarithmique, l'angle du rayon recteur et de la tangente est constant.

La spirale logarithmique est la seule courbe qui jouisse dé cette propriété.