II. Construire la courbe dont l'équation est
Celle équation , icsolue par rapport à y et dificrcntiée deux fois, 'douée en appelant y' et 1/" les deux valeurs obtenu?* potit y ;
y” = Xr X 1 \/X,
dtj 4.x + 5i\/i dy u Vx — 5x \/x '
dx 2 da ? ~ 2 ' ■"
dx* ~ 4 ,/jr-* — 4
L'observation de -l’équation y — a-* + x'\l/ x de la courbe montre que :
1" La courbe passe par l'origine, puisque le système r — 0- , y = 0 , satisfait à l'équation ;
2° Toute valeur négative de r rend y imaginaire : donc la courbe ne s’étend. pas du côté dits ,r négatifs:
3” Si l’on construit la cour lie y = x‘, laquelle est une parabole Alla, dont le sommet est l’origine et dont l’axo est l’axe des y, les points de lu courbe, cherchée , sont symétriquement placés, par rapport à celte parabole, car Péquqtion
montre que : pour avoir les points de la courbe correspondants à des valeurs de x, il faut augmenter et diminuer les ordonnées de la parabole correspondantes à ces valeurs de x, de la valeur que prend la fonction x’.y/x pour les mêmes valeurs de x;
L’arc OA seul est donc un diamètre de la courbe.
4" Pour toute vafeur positive de x, l'ordonnée x a \,/ x comptée à
partir ilu diamètre parabolique OA . -est sans cesse réelle et va constamment en croissant.
La courbe se compose donc de deux branches infinies lesquelles partent de l'origine.
L'origine est donc un point double.
L'ordonnée des points situés au - dessus du diamètre OA a pour expression y =x? -+- t 7 l/x, et l’ordonnée des points situés au-dessous de ce diamètre a pour expression y" — x 1 — x * l/.r.
Quelle fit la' forme de la courbe à l'origine '!
• dy' dy
Pour x = 0, les coefficients angulaires et sont nuis , donc
à l'origine les deux branches de la courbe sont tangentesà l’axe des x.
Puisque la courbe ne s'étend pas du côté des .r négatifs . il en résulte que l'origine est un point de rebroussement.
■Recherche des points de rencontre île la courbe avec l'axe des r.
Les points sont donnés fiar la résolution des équations :
y = jp* -t- x* \/ x, y = x’ — X* l/x.
Ces couples d'équations donnent la solutiou commune x = 0, y ■= 0, c’est-à-dire l’origine; le second système d'équations donnc.cn outre, le point ij = 0 , x — 1 ; -donc si sur l’axe des x , on prend OB — 1 , on a en B le point de rencontre de l’axe des x avec la branche de courbe située au-dessous du diamètre OA.
Forme de la courbe en B.
Pour x — I, le coefficient angulaire devient :
donc ; si l’on, mène en B la droite UU' telle que tg U B t = — ^
on a en I L" la tangente de la courbe au point H. #
Recherche de s pointe maximums et minimums.
Pour ccs points ■— = 8, nous aurons donc, pour les deux branches, les équations :
4jt + l/ a- - 0. • iar — 5x \/x = 0.
La première comme la seconde de ces équations donne x — 0 ; nous connaissons ce résultat ;
La seconde équation admet, en outre, la racine :
La
substitution de ce nombre dans
rfy
dx i
donne :
rfy
Donc l'abscisse x = = 0, 64 donne un point maximum sifué sur
la branche de courbe placée au-dessous du diamètre OA.
Les coordonnées de ce point M sont :
racine réelle, il n’y a la branche de courbe
située au-dessus du diamètre OA.
‘ Recherche des jioints d' inflexion. . t
Pour ces points, on a = 0, nous aurons donc, pour les deux branches, les deux équations :
La première de ces équatipns n'admet pas de racine réelle , donc il n’y a pas de points d’inflexion sur la branche de courbe placée au-* dessus du diamètre OA.
n __ rvo
L’équation 4-1-5 l/ï = 0 n’admet pas de donc ni point maximum- ni point minimum sur
La seconde équation donne : .
L’ordonnée de ce point N est y" = ( t — = 0, 03.
Remarque tur la brancjie de courbe situce nu-dessous du diamètre.
L'ordonnée de celte brandie, comptée à partir de l’axe des x, a pour expression :
Pour toute valeur de x < 1, y" est positive, et pour des valeurs de x > 1 ; y" ne cesse d’être négative, donc du point 0 au point B ; cette branche de courbe est au-dessus de l’axe des a:, en B, elle rencontre l’axe des x; à partir de B, elle passe au-dessous de l’axe des x.
La discussion des signes des cocfficiénls et -J— , jointe à tout ce'
que nous venons de dire, établit la forme de la courbe.
Remarque. — L’angle 1,'Il.r étant obtus , on est sûr que la coprbc ON MB ne coupe pas la perpendiculaire élevée en B sur l’axe des x en un autre point que le point B.
Cette remarque est utile pour. la détermination de l'aire de la courbe.
Aire de ta courbe.
Cherchons l’aire de la courbe comprise entré les limites 0 et 1, on voit évidemment sur la figure que y' et y" étant les ordonnées des deux branches OA' et 0B , correspondantes à une même abscisse , on a :
A étant l’aire cherchée :
(1) A — J y dx — ' I y"dx.
d’où :
■ Jydx =J* (x 2 dx 4 - x 2 d.r j = y + ^ + C.
J't/"d.r=-J (,r' J dx — 3 ^ tir )
Pour x = 0 ; ces deux intégrales se réduisent aux constantes, lesquelles sontévidemment milleÿ. ' ”
Pour !r = 1 ; ces deux intégrales deviennent :
/ v*- / >j"di ou A
Telle est l’expression de l’aire de la courbe.
III. Déterminer le lieu tien pointe tels, gue le produit de leurs distances à deux jioints fixes, soit constant et égal au carré de la ligne gui joint res deux points fires.
Soient P, P’ Jes deux points fixes, et soit 0 le milieu de la ligne qui joint ces deux points.
Sort M un point du lieu cherché, alors en appelant 2 a la ligne PI*', nous devrons avoir :
