MP. MF

Prenons PP' pour axe polaire et 0 pour pOle ; les coordqnnées polaires du point M sont : •

ÜM = r, angle MOP = 6. ■

Les triangles MOP, MOP' (Jonnenl :

. , MP = «* 4- r 5 — iar. cos 6.

« MP’ = a 5 + r* 4- Sur. -cas ?. •

analyse. ■ 27

et par suilt* :

MÎ\ MP’ = (a* + r 2 ) 2 — 4aV. cos 2 3 n 4 — u' 4 - 2« , r 2 4- r* — 4a*r 2 . cos J 3.

r 2 = 2u 2 t 2 cos 2 6 — 1 ).

d’où : • • '

On» — cos 2 6.

Telle est l'équation du lieu cherché.

Avant de construire ce lieu, différentions d'abord son équation afin

i . v rd)

d avoir Ig \ = ~ d y.

l.a différentiation donne :

4; V = — ’COt 23 ;

L’équation du lieu étant fonction de cos 23, il en résulte que le lieu est symétrique (jiar rapport à l’axe polaire et à la perpendiculaire kk' menée en 0 sur cet axe.

Pour 6 = 0 r = « \/ï. *

donc : si en P'on éléve la perpendiculaire' PA = OP = »et si l’on rabat le point A en M et en M' sur Ojt, suivant l’arc de cercle AM dc.centre 0, on a en M et en M' deux points de la courbe situés, sur l’axe polaire.

Pour des valeurs de 6 <! 45*, cos 23 est positif, alors r est réel pour 6 45°, r = o, le point 0 est donc un point dé la courbe.

Po'y r des valeurs de 3 comprises entre 45° et 90°, cos 23 esi : négatif, r est alors imaginaire; les points de ta courbe compris dans le quadrant AOar ne sont donc compris qpe dans l’angle AOM.

il esj inutile de faire varier 6 au delà de 90°, puisqu’on a reconnu que la courbe est symétrique par rapport aux deux lignes PP’ et -kk'.

Quelle tel la forme de la courbe en M et en 0?

En M, 6 =o, et ig V devient infinie, donc V = 90°.

La courbe esi donc en M, perpendiculaire à l'axe 1*1*' ; île même en M'.

En ü, 9 = V5°, cl l|j V ilevicnl zéro, donc V = 0.

Donc en 0 là com be esi tangente à l’axe 1*1*'.

las rayon vecteur 0M est évidemment le plus graiid.de tous les rayons vecteurs de la courbe.

Hechache des points maximum ou minimum.

Nous allons ici chercher les points compris dans I angle AO/ pour lesquels la tangente est parallèle à l'axe polaire.

Pour ces points on doit avoir :

Or l’équation de la courbe donne :

Ig V — — cot 29.

ou bien : . ,

Ig V = — tg ( 90” — 20 )

et par suite :

. y + 90» — 38 = 180 mais • . V + S = 180».

donc par soustraction on a : -

d’où :

Pour J = 30”,

r* = ia ! cos 00” — r*, d'où r — n.

si donc l’on fait l'angle .rON = 30° et si l’on rabat P en N suivant l’arc NP de centre 0, on a en N, un point de la courbe dont h tangente est la parallèle l>h' menée à l’axe polaire.

La courbe proposée a donc la forme indiquée sur la figure.

Cette courbe est appelée lemniscate.

.lire de la courbe. — L’aire de la courbe se compose évidemment de quatre fois l’aire comprise entre l’arc 0NM et l’axe 0M, les limites angulaires de cet arc sont 0” et A3”, et puisqu'en coordonnées polaires

dA = ^ r? </é, faire totale A de la courbe sera ijonnée par l'expression :

Puisque r-’ = -la' 1 cos 23 on a :

J ir’ dê =f i» cos 23 di =^a f J'cos 23 rf3 = i<i f sin 23 4 - C.

Pour 3 = o, cette intégrale devient C. C est évidemment nulle.

Pour 3 = 45°, cette intégrale devient - a’

On a donc pour l’aire totale dé la courbe :