cs points A, A" et, P sont donc multiples

Formait la courbe aux point t A', M.

Kn A’ ( ê = 180° ) tg V = 2 tg 90" = x . V = « ; en M ( 0 — 300° -1-180' l|; V = 2 tg ( 180* + 90* ) =2 tg 90* = x .

donc en A’ et en M, la courbe est perpendiculaire à l’axe polaire.

Forme de la courbe au pôle.

Au pôle d = 0, tg V = 0, V = 0, donc au pôle la courbe est tangente à l’axe polaire.

Air* de la boucle PmAç’P.

L'aire A de la boucle PmAÿ’P, est donnée par l’expression :

On a successivement :

/~|r’ f sin , |dj = n , y*sin’ii!d^ =

=a — a ! j sin ^ S d cos ^ = — a 1 sln 9 cos ^ 9 ré j eus* ! r il ^

= — f i 1 sm - cos 2

. 2 . 6 — ni sm ^ cos ^

’sin't d l

En faillit passer — n 1 .

f sin s ^ d ~ dans le

premier membre et di

visant par 2, il vient .

uH . '

— J SI II g cos ^ +

four à — 0, r.eUe intégrale devient C, el la constante C est évidetnineui nu Ht'.

Pour S = celle intégrale devient : —■ ( - — 1 floue :

111' TROIS COURBES REPRÉSENTÉES PAR I.’ ÉQUATION GÉNÉRALE III DEUXIEME DEGRÉ A DEUX VARIABLES ET SIMPLIFICATION DK CETTE LOCATION .

Soit l'équation générale du deuxième degré à deux variables iti/ } -t- b.ry H- e.r J + <ly rx -t- / = 0, résolue par rapport à y : celle équation donne :

y — — — x — = — f- r — v'{è ? — 4an x*-t- 2 iM*v-2fi*> x ■+■ tP—'vil. 2 n zo zo

ou plus simplement en- posant :

~èi = k ’ ~~ Ta~ h ' hd — ‘ lae = P' — W = 1-

y = fci )- h + \/( h' — iur ) y ' 1 -H 2px -t- q-

Celle équation montre que si l'on construit la droite AB dont l’équa- ( ion est :

y =z kr -4-

pour obtenir les points de la courbe, correspondants aux diverses valeurs de l’abscisse x, il faudra augmenter et diminuer Igs ordonnées de la droite, correspondantes à ces valeurs de l’ab- ’scisse, des quantités provenant des résultats de la substitution de ces mêmes valeurs de l’ab- Scisse, dan» la fonction :

l,;i droite AB divise donc en parties égales, une série de cordes parallèles de la ro.urbo dont l'équation pst (1 ) , pour celte raison, on «lit que AB est un diamètre de la courbe.

De plus, on voit que dans la courbe de l'équation i) la fonction

i ^ \/ ( tP — 4 ac ) X* 4 ~ 2 px -h g

représente l'ordonnée de la courbe, comptée à partir du diamètre AK, dont l'équation est «/ = k.r 4- h.

Appelons Y cette ordonnée comptée à partir de la droite AB , alors

Y = + ) ( t/ (l/ 1 — ’iar j-’ 4- ipi 4 q.

Les valeurs de l'abscisse s étant indéterminées et pouvant croître positivement et négativement de 0 à l’x , on voit que sous le radical de Y-, on pourra toujours donner à j- une valeur. assez grande pour que le signe de la (onction

b ! — 4 tic j j' 4- ipx 4-9 ,

soit celui de son premier ferme , et puis«|ue t* est positif, il en résulte que le sigHe de cet e fonction dépoud de b* — 4ar.

Y sera «lonc réel ou imaginaire suivant le signe de b } — 4«r. Kxaminons donc les trois hypothèses suivantes :

b * — 4 ac <Z 0, • lr — 4ar >0, A* — 4àc = 0.

1" cas. b- — 4 ac < 0. Si A* — 4 ac est négatif, soit b* — 4«e= — S 1 , alors :

V = ± ^ V— J , ? , + 2 px + q. , .

Pour dos valeurs convenables, positives ou négatives de x, le radical pourra être réel ; mais on conçoit que , à partir d’une certaine valeur positive, comme pour une valeur négative et suffisamment grande, prise pourx, le signe de la fortetion :

— JV 4- 2px.4- q

sera celui de son premier tgrine, c’est-à-dire que la fonction sera négative et qu’à partir de ces deux valeurs de x , Y ne cessera -d’étre imaginaire.

Donc, au delà de ces deux valeurs, il n’y aura aucun point de la courbe. •

Sffi

Donc, dans cc cas la' courbe est limitée dans le sens des x positifs cl dans le sens dos x négatifs. . ■ , ^

Il est aisé de voir que dans ce cas la fonction *

• — Px? +.2 px ■+- q

est susceptible de maximum, car ici :

f (x) = — /’x’ + 2px -+- q,

{ (x) =— 2<T î x + 2p, f (x) = — 2 PC 0.

Le maximum de Y correspond donc à l’abscisse x = yj-. La courbe

est (Jonc limitée ai»-dessus et au-dessous du diamètre AB.

Donc : «for* que P — 'tac est < 0, l'équation générale du deuxième degré à deux variables, représente une ruurtu limitée dans tous les sens.

Variétés de cette eourbe.

Mettons i 5 en facteur commun sous le radical , puis complétons le carré, nous aurons : . ,

sous oette forme, on voit que si

est négatif, toute valeur de x rendra Y imaginaire : on dit , dans ce cas, : que l’équation (1) représente un lieu imaginaire.

• Enfin, si ...

Y devient

Sous celte forme , on voit que Y ne pôurra avoir qu’une sente valeur réelle, laquelle est zéro el correspond à ’ •

La courbe se réduit donc à un seul point, lequel est sur la droite VIS puisque Y = 0.

2' cas. A 2 — 4 ac > 0. Si A» — iar est positif , -soit h- lac — jt

'alors : ’ . T '

•V ± l/JV -h 2par -+. 9 ",

Un conçoit que, à partir d une valeur positive , comme a partir d'une valeur négative de ^.suffisamment grande, la fonction

sera constamment du signe de son premier terme, c'est-à-dire sera positive; de plus, cette fonction étant entière et $a dérivée étant

Comme on pourra toujours prendre pourr une valeur qui rende cette fonction dérivée , positive , il en résulte que la fonction (1) ira toujours en croissant à partir de cette valeur de*, donc, ici la courbe de l’équation (I) s’étend indéfiniment dans le sens des x positifs et dans le sens des x négatifs.

Elle est donc illimitée dans tous les sens.

Si les racines de l’équation

i , x l 4 - 2 px -f- ç =, 0 .

sont réelles, alors pour ces racines : Y = 0 , c'est dire que la courbe rencontre en deux points son diamètre Alt.

Si les racines de cette. équation sont imaginaires, la courbe ne rencontre pas son diamètre AB, et, dans ce cas , l'ordonnée Y est susceptible d'un minimum; car ici :• ■ . ’ •

f (ar) = S , x' 1 + 2par - 4 - q, f (a-) = 2Px + 2p,