I. Construire la courbe représentée par l’équation
Ici b s — 4<ic = 4 — 8 — — t < 0 , la courbe est donc fermée’ dans lobs les sens,.
L’équation proposée, résolue par rapport à g, donne successivement :
i/ =: .r 4 I + \S (.r 4 t I — •ÏT l 4- 3x — 7,
Et en complétant le carré' sous le radical :
Mise sous cette forme , on voit que la droite AB (j=i+ 1 ); est un diamètre de la courbe; l'ordonnée Y, comptée à partir de ce diamètre, a pour valeur :
Posons (a- — ^ ) = a-’ 5 . d'où ® — 2 i x ' • a ^ ors * l’on prend
<>K = les valeurs de x' devront
être comptées à droite et à gauche du point K et Y devient par substitution ; '
Y-;tl /{-;
Le maximum de Y correspond à x' = 0 , ce maximum est 5 ; si donc
"là
l’on mène la parallèle KC à l’axe des x , et , si , à partir de C , on prend
CM = CM' = g , la courbe sera comprise entre les parallèles M'U' et MU et passera en M et en M'.
Pour des valeurs de x' < 5, Y ne, cesse d’être réelle , pour x' = * Y * i
= 0 et au delà de x' — Y devient imaginaire et ne cesse de l’être.
Si donc l’on prend KH = KH' = g, et, si, par les points H et H’, on
mèno- les parallèles HN, H’.Y à l'-axe des y, les points N et N’ appartiennent à la courbe et cette, courbe est comprise entre les parallèles HN et H’N’. ' • ’
Ou a donc une idée première de la forme de la courbe.
On achèvera la détermination complète de la courbe par la recherche ’ des points maximums cl minimums et de quelques points particuliers.
La diffèi entialion de l'équation (I donne :
il y 2y — 4.r -f 1 3 __
dx 2y — Ar — $
rfx 3 + •-<
Les coordonnées des points maximums et minimums seront données par lu résolution des équations :
y 1 — 2xy 4- Zx* — 2 y — 3x 4- 7 = 0,
2y — ix 4- 3 = 0.
l’élimination de y entre'ces équations donne l’équation suivante :
fcr 1 — 10x4- ^-= 0,
laquelle a pour racines les abscisses des points maximums ou minimums. Les deux racines de cette équation sont :
Remarquons ici que les signes -*- et — du nydical. )<' g correspondent respectivement aux signes — et 4- de f" (xl.
On a donc par substitution :
rw> o,
par suite :
x, — 4- j/g est l’abscisse d’uu point maximum
j-., = ^ — V r, est T a lise iss J 2 R
•c d’un point minimum.
•Les coordonnées des points de la courbé, pour lesquels la tangente est perpendiculaire à l’axe des r, sont données par la résolution ries éipiations :
. i/’ — 2.ri/ 4-’ 2x 2 — 2j/ — ilx 4- 7 — 0,
Les coordonnées île ces potins sont :
Ce sont les points N et N'.
.La courbe a donc la forme indiquée sur la ligure, lire de la courte. — Si l’on désigne par A l’aire totale de la tourbe
et
^ | / tj Z
si l’on appelle y'- l’ordonnée x +• I + ' ^ ( ,r — j de l’arc
N’M’N, et y" l’ordonnée i + I — ’ | ( x — ? ) de. l’arc YMN ;
ori a , en remarquant que les points extrêmes N et Y répondent aux abscisses 2 et 3 :
A = J y'dt-r—f ,y"dx..... • (I).
Calculons j y'dx, nous aurons successivement :
fydm= frdx + f<U + J l
1/ j — f r — d.t, nous remarquerons que
— g doit être moindre que ^ et nous poserons :
d’où :
par suite :
d.» = - COS » dj, ’
/’ , 7 s? , ri A 1 •
J [ r"( x ~i) * ■= Ji cos > '■ Pî !
ÇeotP-tdi,
Mais iui a trouve (intég n" 111, page Itiil) :•
sin*; il, , ~~
I cos’j </{ = 3 sinjcost. 4- î -f- (1,
donc :
/ ï 7 4 — — 2/ dx = 8 s,nt cm * + 5 + ( ' -
et puisque sin$ = 2* — 5, cos$ = y/ 1 — (2/ — •>)’,
% = ère sin (2x — 5),
i — (.t — ^ d.r = g (2* — 5} v/l — (2jp — 5)’-)- gare sin (2 j- — 5).
L'équation (2) devient donc par substitution :
I y'dx— *2 -H x 4- g arc sin (2* — 5) -4- g (2îr — S) y/ 1 — i- ~ — Sÿ* - -t- C. On a de méipc :
I y"dx — ~ >* — g arc sin (2x — 5) — g i2x — 5)1/ 1 — (2r— 8)*+C.
Par suite : *
J y'dx =
J y".dx == ^ — g [are sin 1 arc sin ( — 1 )"}•= ^ — J •*.
et enfin :
g + g [arc sin 1 r— are sin [ — t) ] = ^ + j V.
il. Construite la courbe représentée par l’équation.:
.y 1 — irt* — àr 1 -t- x = 0.
Ici 6’ 4 tic = 4 > 0. La courbe est donc une hyperbole ou upc variété de celte coorbe.
La courbe passe par l’origine puisque le systèine x = ft, y = 0 satisfait â son équation. . . . ,
L'équation résolue par rapport à y donne successi ventent, en Com-
pléiant le carré sous le radical :
y = *±V*V(r-lj‘-±-
La droite OA, y = x est un diamètre de la courbe et l’ordonnée Y comptée à partir de ce diamètre a pour valeur :
ou bien , si l’on pose ( x — j J = x'’.
Si donc l’on prend OB = j, les valours de x' devront être portées à
droite et à gauche du point B, car l’équation ( x — ^ J = x'* donne 1 , ,
Pour toute valeur de r‘ moindre qué Y est ‘imaginaire, pour
x' = |, Y=0, et toute valeur de ar’J> | et croissante, rend Y réel
et croissant ; pour x' = ao , Y = ' ^
Donc si l’on prend BK= ^; il n’y aura aucun .point de la courbe
compris entre les parallèles yy' et KK’: les points 0 et P appartiennent
à la courbe et à partir de O et (Je H, les deux branches dont se compose la courbe cherchée, s'étendent vers l'infini dans les deux sens.
Reeherrht des points maximums et minimums.
L’équation différentiéc donne :
dy 2y + 2x — 1 dx ~ 2(y — ar)
dx 1
(/(xZITTl
* v 4/ IC
Les coordonnées des points maximums ou minimums sont données par la résolution des équations : .
%j + ïx — 1 = 0 .
y' — ïxy — x* - 4 - * = 0 .
l'élimination de y donne l’équation
laquelle a pour racines les abscisses des points maximums ou minimums. Les racines de cette équation' sont imaginaires, il n’y ;j donc' ni points maxmums ni points minimums sur la courbe.
Aux points 0 et H , la tangente est perpendiculaire à l'axe des 9 .
drtv* de la eourhe.
L'équation de la courbe est :
Si l’on appelle y' et y", les deux ordonnées correspondantes aux signes q et — , on aura pour Faire A du segment HMM' compris eutre
l'abscisse x = 0* = ^ et l’abscisse indéterminée ON.
i ~ f y'dx — y y"dx (*J
vï, .
Calculons chacune des iutégralesiûdéfinies Ç jàx, Jy"dx. On a . y y’dx= fdx+ \/ï.f\/(x— i) — i«ir. fy'dx = 1 + \/% f V (*— 5 ) — ^ dx ( 2 )
il s’ agit de calculer
/ y' ( x -lf-u dx -
Remarquons ici que x — i doit être plus grand que nous poserons
d'où en différentianl :
par suite
= séc».
Ax = j. tg * séc f d%
fv' r - \ )’— ïü dx= J séc ’» ~ & r *« *
*' '= ^ j~\/sec\ — ï..tg e séc $ df =
~Të J l6J *' ^ ^ ~
1 z'sin*» j
— 16 J cos s ç “
J r } 1 — •tos*» ) <4
~ 10 J cos s #
16' J cos*f 16'j cosf'
Or on a trouvé ( intég. n" XIII, page 173 et intêg. n° IX, page 172 )
fJX = ^ >C « * , - 1 log l 6 (» + |)
.Asr.» 1 -* «(“•-►?)■
»h>nc
f \/ • <te =i l e» 8éc »-â ,08tc ( w ’ + i) +c=
= tg * séc If — jg loe (tg * 4- \/ 1 4- tg } $) 4- C.
Et puisque séc ? = 4x — 1, tg j = \/ séc ! ® — 1= \Z[kc — 1)’ — ï î il vient : •
fA^îfr à-*= i^- 1 ) -
- A (og [4x - 1 + v/(4x— ii’- l |‘+ C. , ..
d'où :
I M f 4jt—1 î N/f^— M 2 — 1— ^ Nj (fc®-»44- v/{4«— *)’ — l) J 4- 0. on a de même : *
/ y"itE — x — \/ï . |
| ~ (4a»— 1} |/ (4a? — ï)*— i — ~ log (4*— 14- ^r-lï’-l)] 4-C.
De ces deux intégrales on déduira aisément l'aire A.
111. Construire la courbe représentée par l'équation : ry — r* — y — 1 = 0.
Ici 6’ — 4«e = 1 > 0. La courbe cherchée est donc illimitée dans les deux sens.
Lcquaiion résolue par rapport à y,- donne :
et en effectuant la division
Soit AB la droite y = x -+- 1 ; alors en posant
Y est l'ordonnée comptée à partir de la droite AB : au-dessus si
Y est > 0 et au-dessous si Y est
Pour i=0, Y =s — 2; donc en prenant AC = 2, on a en C un point de la courbe.
Ptrfir toute yaleur de x moindre que 1, Y ne cesse d'être négatif, et lorsque x = 1, Y = ao , la courbe part donc de C, en restant au-dessous de AB, et s’en va rencontrer à l'infini la parallèle k'k" , menée A l'axe des y à une distance 0k = 1 ; on a ainsi la branche CD.
Pour toute valeur positive de x > 1, Y redevient positif, la courbe se trouve donc alors au-dessus de AB; elle part de l’infini suivant kk\ et l'ordonnée Y va sans cesse en décroissant.
Pour x = ao -, Y = 0, donc Ip courbe rencontre AB à l’infini.
Occupons-nous de la portion de la courbe située du cbté des x négatifs ; à cet effet remplaçons dans V, x par — x, nous aurons ainsi pour l’ordonnée Y, située du côté des x, négatifs ;
Y restera donc constamment négative. Pour des valeurs de x croissantes depuis ïéro, Y va sans cesse en décroissant, et pôur m»,
Y =0, donc la branche CD se rapproche indéfiniment de AB et rencontre cette droite à l’infini. • •
Recherche des points maximums ou minimums.
L’équation de la courbe différontiée deux fois donne :
rfy 2x — y
. eP'i 4
ilx !
Les coordonnées des points maximums ou minimums seront données par la résolution des équations :
2x — y = U, xy — a'* — y — 1 = 0, lesquelles, en éliminant y, donnent l'équation x 1 — 2x — 1=0.
Les abscisses dos points maximums ou minimums sont donc; x' = 1 4 \/2, x’ = 1 v/2 = - (\/2 — 1).'
la substitution de ces racines dans f" (x) donne :
Le point M [ x = 1 -r l/2 , y' = 2 ( 1 -r- V/2 ) ] est donc un point
minimum, et le point N [ xj = — (l/2 — l), y" = — 2 [\/ï — l) ] est aussi un point minimum.
Aire de la cifurbe. — Cherchons l'aire de la courbe, comprise entre l'origine et une ordonnée correspondant à une abscisse x <C 1- Puisque :
nous aurons, A étant l’aire cherchée :
\= J y dx=f xdx+f dx Y 2 J -~j.
= + x -t- 2 log (x— 1).
IV. Construire b courbe représentée par l'équation : • y 1 — 2xÿ -A- a 3 4- r — I ~0.
'TcTV — -W = V — 4 = 0 , la courte cherchée est donc limitée dans un seps et illimitée dans l'autre.
Résolue par rapport à .y . l’équation donne :
La droite OA ( y = x), est un rhamètre de la courbe: et l'ordon* née Y comptée à partir de ce diamètre, a pour expression :
Pour je =. 0, Y = ^ 1. i. ' t
Si doné l'on prend OB = OB' = i , on a en B ei eu B’ deux points -de. In courbe.
Pour des valeurs positives et moindres que i attribuées à jc, Y uc cesse d’étre réelle; pour x = t, Y = 0 , et au delà de I, Y ne cesse d’ètre imaginaire. Donc , si l'on prend OC = 1 , et si par C on niéne la parallèle C/. à l’axe des tj , laquelle parallèle rencontre OA en M , on a en M une pointe de la courbe. Entre les parallèles ijy' et Ca, on obtient la branche de courbe BMB* et au delà de la parallèle Ma, il n’v a aucun point de la courbe.
Pour obtenir la partie de la courbe située du cèté des x négatifs, remplaçons x par — x dans Y, et nous aurons :
Y = ± 1/ i -H jc.
Donc, du côté des x positifs, Y ne ccsse.d’êtrc réelle et de croître indéfiniment; la courbe s'étend donc vers l'infini à partir des points Bel B',
Recherche de* point* maximums ou minimum».
L’équation de la courbe différentiée deux fois donne :
rfy ,2y — 2x — 1
<Lt 2 (y — x)
< l ’y -r 1 di'— ‘ "
* il— j
Les coordonnées des points maximums ou minimums seront données par la résolution des.équàtltms :
— 2xi/ -4- x’ -t- x — 1 =0, ày — 2x — 1 = 0.
l'élimination y donne l'équation ;
* — * t = 0, d ou x = t.
.la substitution de cetto valeur dans f" (x) donne : r3\
f <. B. pour le signe — de f" (x).
Donc, à l’abscisse x = j correspond un point maximum N dont l of-
donnée est + Il n’y a pas de point mumqum
Forme de lu courbe en M. — La substitution des coordonnées x — J, y— 1 du point M dans ^ donne : . -
ÜX
ty. — —L
dx 0
la courbe est donc tangente en M à la droite Ca.
Aire de la courbe. Appelons y' la valeur de y qui correspond au signe-fdu radical et proposons-nous de calculer l’aire BNMO. A étant l’aire cherchée , on a la figure :
Or:
A =* J* y'dx — triangle OSJC.
I y'dx = j~ xdx + j 1/ 1 — x dx, =
— ig — J" l/l — X d (1 — Æ),
Pour x = 0 , cette intégrafe devient — C.
Pour x = 1 , cette intégrale devient 1 -t- C.
Donc :
» J y'dx = s, et par suite :
SIMPLIFICATION DE L'ÉQUATION GÉNÉRALE DU DEUXIÈME DEGRÉ A .DEUX VARIABLES.
Dupurition de$ terme * du premier degré.
Si l’on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes en un point dont les coordonnées sont m et n : les formules de transformation étant :
l'éqnation générale du deuxième degré ay t h-bxy-hcx i +dy-hex-hf= o, rapportée aux nouveaux axes devient'.
a(y-M») 3 -t-i>(a: -+- m) (y-hn) -+- e(x -h m) a -+- d{y -+- n) -t- e {x + m) + f = 0.
on bien :
ay‘-4-éxy-|-cx , 4-'2an
+bm
y-t-Üem
x-Hm*
+ èn
-hbmn
-hem 7
-t-dri
-hem
La nouvelle origine étant arbitraire, ses coordonnées»! et n sont indéterminées; on peut dope profiter de cette indétermination pour leur donner les valeurs tirées des équations :
2on -+- bm 4- d zz. 0.
' âam+.ftn +« = 0. • lesquelles valeurs sont :
üa « — bd - — be
m V 1 — %ac~ " b 1 — 4ac'
Alors, rapportée à cette nouvelle origine, l'équation (1) se réduit à : ay 1 -+- bxy -t- ex 1 -+- K = 0.
K étant le résultat de la substitution des valeurs du m et de n, dans le terme indépendant des variables.
Par cette transformation, .l'équation du deuxième degré perd ses termes du premier degré.
Loi de formation (leu équations de la nouvelle origine.
Les coordonnées de la nouvelle origine sont données par les équations :
. 2am-6m-t- d = <>.
2rm -+- hn -r e — o.
I-es premiers membres de ces équations sont •: les dérivées du premier membre de l’équation générale du deuxième degré, prises respectivement par rapport à y et à <r, en y considérant successivement y et x comme seule variable; puis en remplaçant dans ces dérivées'x et y par m et w. . . •
Ln sorte que f [x, y ) = b étant 1 équation générale du deuxième degré, les coordonnées de la nouvelle origine, pour laquelle l'équation perd ses termes du premier degré, sont données par la. résolution des équations : . .
Si l’on voulait construire géométriquement- cette nouvelle origine, il suffirait de construire chacune des droites dont los équations sont
df df
dx ~ °’ dy~ ° .
leur intersection serait J’origine cherchée. . „ ' , • . . .
- ' * La nAuvelte origine est le rentre, de la rourb".
«apportée à cette nouvelle origine l’équation du deuxième 'degré devient :
ai/* -I- bxy, -I- cx 2 ’-f- K = o.
L'Observation de cette équation montré quelle lie change pas alors qu'on y remplacé ét y.par — x et- jute -i- y. Donc si M est "un point de la Courbe, rapportée à sa nouvelle origine 0, le.- point M' tel que ses coordonnées sont. . ,.-•••■ ■ ,
ÔP’ = — (OP).
M'P'— — (XiPf. 1 •
est aussi un point do. la' courbe. Or, si l’on joint MO et M'O, en foriue deux triangles MOP, M'OP égaux; par suite ‘ .
ANALTSE. ;(0
angle MOP = angle M'OP’ MO = MO,
c’est-à-dire, que la ligne MOM' est droite et qu’elle" est divisée à l’origine en deux parties égales.
Celte droite MM' est une corde delà ceurbe; donc toute corde qui passe par l’origine y est divisée en deux parties égales, c’est- ^ à-dire que l’origine est le centre de la courbe.
" La courbe du deuxième degré dont le caractère analytique est b* — bac = o , n’a pat de centre et
dans ce cas, liquation générale du deuxième degré ne peut perdre à la foi t tes termes du premier degré.
En effet, la discussion de l’équatioti générale du deuxième degré, nous montre que cette équation représente trois courbes distinctes par leur forme, lesquelles répondent aux trois caractères analytiquos :
6» 4aé<o,- è 1 —- bac > o et 6*— 4ac = o.
Pour les deux premières, les coordonnées
2 ae — bd 2c<f — bc
b* -—bac' n 4* — 4ac
du centre sont des quantités finies puisque à* — 4ae est différent de zéro. • • .
Pour la troisième, la différence b f — 4ae = o ; alors m et n sont infinie»; le centre y est donc situé à l’infini, c’est dire qu’il n'y en a pas et que les équations • . . ‘ .
dx ’ dy
sont incompatibles.
La courbe du caractère 6* — 4ae = o n’a donc pas de centre et son équation ne peut perdre à la fois les termes du premier degré.
Ce qui précède suppose que lenumérateur de m ou de n n’est pas nul;
s’il en était ainsi, c’est-à-dire si m a la forme ^ ; on sait que « a aussi
la même forme; dans ce cas tes valeurs de m et de n se présentent toutes deux sous la forme - ; elles sotit donc indéterminées, ce qui in-
dique une infinité de centres.
En effet, si bd — 2 ne = o, ainsi que 6* — 4 ac = o, l'équation générale
ay 1 + bxy ex 1 + dy 4- ex + f = o, qui résolue , donne :
y = — ^ ar— çg ± 1/ (6*— 4oc)a^-f-2 (M — 2frclT-Hd’^W
devient :
'-g-c±kV^.
L’équation représente alors deux droites parallèles. Le lieu de leurs centres est la parallèle équidistante.
Calcul du coefficient numérique K.
On a :
K = an’ + brun + cmï+dn -+- cm+f.
Les équations de la nouvelle origine :
2cm.-t- bn + e =o. ...... .(2)
donnent en multipliant la première par n, la seconde par m et en ajoutant les deux équations obtenues après cette multiplication :
2 ( a n* 4- ému ■+ cm* } + dn -4- em = o.
d’où : ;
, , , dn 4- tm ' < '
an’ 4 - bmn 4- cm 1 =j — » ■ ^
fc
le coefficient K devient donc, en y remplaçant an* 4 - bmn t- cm’ par cette valeur:
K= dn + eM + f ' ,
La substitution des nombres m et n tirés des équations (1) et (2) achèvera la détermination du coefficient IC.
Disparition ilu terme en g i‘t i/u terme indépendant des variables dans i équation générale du deuxième degré, alors que b * — 4 ac — O.
Puisqu'on ne peut ici, faire disparaître les termes du premier degré dans l'équation :
tiif 1 Trh.rfi 4 c3r*-+-ünir
y-hictn
