C COS*x

■4- 2e cos a cos t'

Les angles a et «’ étant indéterminés, on pourra profiter de cet|,e indétermination pour leur donner les valeur^ Urées do l'équation :

2 1 sin : sin -.'+b (sin *' cos 4-sin ■ cOs +2c cos a cqs »' - o.

ou bien

2a tg et tg u.'+b ( tg -t-tg a’ ) -l-2r — O.

Et alors. Inéquation' de la courbe pour les valeurs de * et do V tirées de (1), prend la forme :

My* ■+■ Na? 4- K = o.

l.’équation (1) étant unique pour déterminer & et il en résulte qu’il existe-une infinité de valeurs pour u. et en d’autres ternies, il existe une infinité d’axes obliques passant par le centre ( car l'origine est le centre de la courbe ) pour lesquels l’équation de la courbe prend , la forme :

. . My 3 -t- Nx* K = o.

LES NOUVEAUX AXES SONT DES DIAMÈTRES COXJUliUÉS DE LA COURBE.

Soit i/o , OX un des systèmes d’axes pour lesquels l’équation de la courbe se ramène à la forme :

X Cette équation montre que pour

une même valeur de x, on obtient pour y deux valeurs égales et de signes contraires; l’axe des x di- . vise donc en parties égales, les

. bordes de. la courbç , parallèles à

l’axe des y.

L’axe des x est donc un diamètre.

De même, pour toute valeur de y, on obtient pour x doux valeurs ■ égales et de signes Contraires; l’axe des y divise donc en parties égales les cordes de la courbe, parallèles à l'axe des x.

L’axe des y est donc un diamètre.

Oit voit ainsi que l'axe des x et l’axe (les y sont des diamètres réciproquement parallèles aux cordes qu'ils divisent en. parties égales. Pour cette raison, on dit qu'ils sont conjugués.

Puisqu’il y a une infinité de systèmes d’axes obliques pour lesquels l’équation du deuxième degré, alors que IP — -inc est différent de zéro, se ramène à la forme M y 3 + N ** + K = o, et que les axes Sont des diamètres conjugués, il eh .résulte que , dans les deux courbes , dont le caractère analytique est IP — 4 ac < ^ o ou 6* — 4ac > o, il. y a une infinité de systèmes de diamètres conjugués.

Dan s les courbes du caractère analytique b 2 — 4 ac < 6 ow 6’ — 4ac o, il n’y a qu’un seul système d'axes rectangulaires pour lesquels les équations de ces courbes peuvent se ramener à la forme M i/' J 4- N i 5 4- K = o.

Les angles a et *’ donnés par la relation

{1) 2 a sin* sin*' -4- ésin (*' -t- *) 4- 2c cos* cos*' '= o,

sont en nombre illimité, si on les assujettit à la condition «t* — « — 90*,

laquelle exprime que les nouveaux axes sont rectangulaires; l'indétermination cesse, car la seconde équation donne a! — 90* + a. et l’équation (1) devient ;

, (a — c ) sin 2* -4- 6 cos 2* = o,

d'où l’on tire t

On ne trouve donc qu’une seule valeur pour a (') , et , par suite , uno seule pour

Il n’y a donc qu'un seul système d’axes rectangulaires pour lesquels l'équation du second degré , alors que b 1 — 4 ac est < o ou > o , peut se ramener à la forme >1 y 1 4- N x 1 4- K s o.

11 n’y a donc , dans les courbes que cette équation représente , qu’un seul système’de diamètres conjugués' rectangulaires.

Dans ce Cas, ces deux diamètres conjugués sont dits les axes de la courbe. , •

Calcul des coefficients M et N de y 2 et de x 1 .

Les nouveaux axes étant rectangulaires, on a :

M =« cos 2 * — b sin**cos* -4- c sin’*,

N = a sin 2 * -t- b sin* cos* 4- e cos**,

(*) L'angle 2* étant donne par sa tangente, il semble que l’oo trouve pour * quatre valeurs, savoir :

*, 90* -f *, 180* !- «, et Î70* + <*•

Ces quatre valeurs de a ne représentent qu'un seul système de dcui droites perpendiculaires. , , ,

i io

d'où on tire successivement :

M — N = a (cos’it — sin’ctî — 6 . 2 sin* cos* — r (cos 1 * — sin J *) , =* (a — c) cos 2* — b sin 2«,

= cos 2* (a — c — ùtg2*), =

V/1 4 tj; 1 ix

c—b tf; 2«t),

et en remplaçant tg 2* par sa valeur

il vient finalement :

d'où :

M = ^(a -4- c + \/ja — r)? -+- f ! ), N = î (n+r — (« — «)•+ *’)i

ainsi se trouvent calculés les coefficients M et N.

Les courbe s du deuxième degré dont le caractère analytique est b 7 — 4 ac < 0 sont des ellipses

L'éqaatioù du deuxième degré étant rahienée à la forme :

nous supposons les axes rectangulaires, ces axes représentent alors les seuls axes de la courbe. .

Ici :

b 7 — iac = — 4M N. •

donc, pour que b ’ — 4ac soit < o, il faut que M et X soicnt.de même signe.

Supposons — K positif, et soit — K — p‘, alors M et N étant tous deux positifs et l’équation de la courbe devient : .

AV + N** = p» (I);

Pour x — o,

Le valeur absolue (te i/ , tirée de celle équation, -est celfc du demiaxe de la courbe, dirigé suivant l’axe des y; si donc, on appelle b ce

demi-axe, on aura :

b' = — jj—> d'où

I\>ur y = o....... x ! = — ^ — .

La valeur alwolue (Ig x, tirée dé cette équation , est celle du demiaxe de la courbe , dirigé suivant l'axe' des x; si dohc , on appelle x ce demi-axe, on aura :

d'où n = -4-,

et en portant ces valeurs de il et de N dans (1), il vieiit :

d'où :

r'-irr+P 1 -^- =P*.

ifl.y 1 + A 7 ..r 2 = a 1 b*.

nous retrouvons ainsi l’équation de l'ellipse.

Donc , alors que t ! — 4 ac < o, l'équation générale du deuxième degré représente une ellipse. < . • .

Et, de ce qui précède, il résulte que f 'ellipse a un ctnlre , un* infinité de diamètre* cçmjdguc* et un teuî système d’nxes.

Le* courba du deuxième degré , dont le caractère analytique est’ b 1 — 4«r o, tont de » hyperboles.

L'équation du deuxième ‘degré étant ramenée à la forme M ÿ ! + Nx J = - K,

nous supposerons les axes reçtangulaires, ces axes représentent alors les seuls axes de la courbe.

. Ici: . .. . . .. : ■*. . . . . s'*

b 1 4 ac = -rr 4 MM. .

Donc, pour que /»* — 4a* soit ;> o, il faut .que M et N soient de signes contraires. . ' . .....

Supposons ici — K négatif «.puis N négatif et M positif, l'équation proposée s’écrira ainsi : • ■ .

M ÿ* — N x* =* — p 7 (If. •

ÀNÂLYSC. 31

Pour x = o : y* = — .

Cette- valeur de y étant imaginaire, cela veut dire que l’axe de la courbe , dirigée suivant l’axe des y , ne rencontre pas la courbe ; pour

celle raison, cet axe est appelé l'axe non transverse

Appelons 6* la valeur absolue - — ^ — , alors !

Pour y = o.. x 1 = — ^ .

1-a valeur de £ , tirée de cette équation , est réelle , elle représente la longueur du demi-axe de la courbe, dirigée suivant Taxe dès x ; cet axe est dit Caxe transcri te, et si l’on appelle a ce demi-axe-, on a :

a* = — ^ — d'où N — — ^- î -.

IN a 4

L'équation (1) devient donc en y remplaçant M et N par les valeurs que nous venons de trouver : %

d’où : ■ . ,

. a? tj* — b*a? = - — n' J è 2 ,

nous retrouvons ainsi l'équation de l’hyperbole.

Donc : alors que b } — -tac > o , l'équation générale du deuxième degré représente une hyperbole.

l)e ce qui précède, 'if résulte que l’hyperbole a un centre y une infinité île diamètres conjugués et un seul système d’dxes.

Disparition du terme contenant le rectangle xij dans l’équation générale du deuxième degré alors que IP — iac = o.

Nous aVon» vu comment on ramenait l’equation générale du deuxième degré à la forme : t

ay 1 4- bxg -+- ex’ 1 + Hx = o (2),

alors que b * — haczso.

Supposons ici les axes rectangulaires.

Si au moyen des angles <* et «’ que font les axes d’un système d’axes obliques avoc l’ancien axe des x , on veut faire disparaître le terme en xy ; on n’aura qu’une seule équation pour déterminer a et*', c’est-àdire qu’iLy a une infinité d’axes obliques pour lesquels l’équation, alors que b 2 — 4 ae = o , perd son terme pu py ; on ne trouvera aussi qu’un seul système d’axes rectangulaires qui remplissent le même but.

Le terme en xy ayant disparu, l’équation (IJ prend alors la forme :

My’ -f- Nx* + Px = o.'

Ici : <•

b 1 — kac = *— 4MN = o,

il faut donc que M ou N soit nul, ce ne peut être M, car , alors , l’équation se réduirait à :

Nj# -f- Px = o,

,et représenterait deux lignes parallèles à l’axe des y, donc M =»0 et la transformation qui fait disparaître le rectangle xy des variables , ramène du même coup, l’équation à la forme très-simple :

My* -t- Px= o. . •

Les courbes du deuxième degré , dont le caractère analytique est b * — 4ac = o, sont des paraboles.

L’équation étant ramenée à la forme :

on en tire :

My’ 4- Px = o,

et si ’ l’on pose

y’ = 2 px.

Nous retrouvons ainsi l'équation de la parabole.

Donc : alors que b’ — 4ae o, t’ équation générale du deuxième degré représente UHe parabole.

De ce qui précède , il résulte que la parabole n'a pas de centre ( il est à l' infini) et il existe une infinité d'axes obliques et un seul système d'axes rectangulaires pour lesquels sou équation se ramène à la forme y 5 = 2px.

-, Disparition des teriixs en x 7 et en y 7 .

Une telle transformation ne peut se faire pour la parabole; car, alors h 7 — 4«r dev'ant êlre'nul, et <J et r* le devenant par cette transformation, on aurait fc’= o; de telle sorte (pie l'équation générale du deuxième degré se réduirait* à une équation' du premier degré.'

l-a transformation ne saurait avoir liéu non plus pour l’ellipse, car /»* — 4ac devient b 7 ; cette différence ne saurait donc être négative après cette transformation.

Prenons donc l'équation générale de l’hyperbole rapportée à son centre ; cette équation est ;

atj 7 -h bxy ex 5 -t- K = o.

Supposons les axes rectangulaires et. passons à un système d’axes obliques , u et *’ étant les angle's que les nouveaux axes font avec l’ancieti axe des x, l'équation rapportée à ces nouveaux axes devient :

a sinV