DÉFINITION

Une droite MN est dite asymptote d'une branche de courbe AA', alors

qu’elle s'approche indéfiniment de celte courbe et ne la rencontre qu’à l’infini.

Il résulte de cette définition, que la différence PK des ordonnées de la courbe et de l’asymptote, correspondant à une même abscisse, tend vers zéro, lorsque x tend vers l’infini, c’est-à-dire que pour x = ao , les ordonnées de la courbe et de l’asymptote deviennent égales.

. Proposons-nous de déterminer les asymptotes d’une courbe quelconque dont l’équation est f{x, ij) = o.

L’asymptote étant une ligne droite, son équation est de la forme :

y — ax -\~ b.

il s’agit donc pour déterminer l’asymptote de calculer les coefficients a et b.

Puisque pour x = » ,. l’ordonnée de l’asymptote se confond avec l’ordonnée de la courbe, il en résulte que l’équation de l’asymptote étant y = ax + 6, l'équation f { x, y ) = o de la courbe devra- pouvoir ee mettre sous la forme :

y = ax -t- b + V (1)

V étant une fonction d'x, laquelle s’annule pour x = » (*).

(*) Pour qu'une courbe tit une asymptote, il faut qu’elle ait une branche infinie ; ainsi l'équation ;

montre que la droite y = x -f- 1 n'est pas asymptote du lieu de cette équation , bien que le terme j/ L s'annule pour x = * , car le lieu ne S’étend pas au delà de l’abscisse x = 1.

Il s'agit donc dans l'équation (1), laquelle est l’équation-de la courbe, de calculer les coefficients a et b.

Calcul du coefficient a, — L’équation (1) donne :

et pour æ ±=: œ , en a : .

a = Lim ' •

Donc : le coefficient angulaire de l'aiymptote dune courbe t'obtient, en

cherchant dant l'équation de celte courbe la limite du rapport -,alortquex

tend vert l'infini.

La limite ^ , c’est-àrdire la valeur de a étant ainsi trouvée , portonsla dans l'équation

g =zax + b 4- V

de la courbe. '

Cette équation donne : ' ,

6 = y — ax — V.

et en passant à la limite x = ce , qn en tire :

b =* lim (y — ax),

Donc : le coefficient linéaire b de l'atymptote, t'obtient en calculant dant l'équation de la courbe, la limite de y — ax, pour x = oo , a étant calculé par le moyen indiqué ci-destut.

Appliquons cette méthode à la recherche des asymptotes des courbes suivantes. "JKt -

I. Soit la courbe dont l'équation est y = m , on suppose m >1.

Cette équation donne successivement :

x* log*

•r 1 -f x log. m 4-

^ = î + lop. m 4- 4- h-

et si l’on fait x = -+■ oc , on trouve lim - = x, .