DÉTERMINATION DES ASYMPTOTES DES COURBES ALGÉBRIQUES

Soit p déterminer les asymptote^ d’une courbé, dont l’équation est f ( x, y ) = o, la fonction f (-x, y ) étant entière par rapport à x et y ; c'est-à-dire, que dans cette fonction les exposants de x et de y sont entiers et positifs.

Il s’agit dans cette équation, de déterminer les limites Lim ■ Lfrn (y — «x). •

Calcul du coefficient h. — Cherchons le rapport 4 à cet effet, soit m

le degré de là fonction f[x, y); séparons les termes de cette fonction en groupes dont tous les termes seront respectivement des degrés m ,

Appelons : • . • * " <

ANALYSE. 33

1rs fondions fournies par les divers groupes.

Alors nous aurons : *

Dans chacune des fondions ç„ (x, y), (a - , -y mettons respectivement x", .r" — j"— 7 , en fadeurs communs, les quotients

par x a"*' 1 , a-" 1- ', seront alors des fonctions du rapport

en effet, si je considère un terme de la fonction ;„ ( x, y J, ce ternie étant du degré m est de la forme Ax*. y" - '’; et si j’y mets jr" en facteur, j'obtiens : • /

Axe. jr~f = x- .A 7 = JT. A ( J ) .

Appelons donc :

les fonctions obtenues en mettant x", x* -1 , x'" - ’,. ... en facteurs communs dais les fonctions ( x, y }, ( x, y ), etc.; nous aurons :

Kn divisant par ar*.et en passant à la limite x = ® il vient :

M?! = ® ou /. ( « ) = °- ‘

Telle est l'équation dont les racines seront les coefficients angulaires des asymptotes de. la courbe proposée.

De là, cette règle :

Pour obtenir le' coefficient angulaire de l'qinjmptotc, réunissez (bus les termes du mime deyré que celui de l'équation de la courbe, remplace z-y :

pur I et ij par a et égales à zéro. Léquàtum ainsi obtenue, a pour racine

coefficient angulaire de l'asymptote.

Remarque. — I. 'équation f [x, y ) ^ o étant dit degré in, la fonction f t [a] sera au plus du degfé m, elle a donc au plus m racines réelles; c'est-à-dire, que si l’équation d’une courbe est du degré m, cette courbe a au plus m asymptotes.

Calcul du coefficient b. L’éijüalion de la courbe :

. . ‘ y =r ax -+• b ‘h- V

donne :

En portant cette valeur de £ dansTéquation (2), il vient :

x~f,(a + J+x"- 1 fa (a+ YtY |+a*-i fa f n -(- 4- *=0

Et en développant d'après Ta série de Taylor :

rf|( o ) + (l + V)f|' (a) x?~ l 4- Pas" -3 4- Qx m ~ i +... \

ou bien, puisque fa (a) iro.

' [( b + V) fa' (fl) 4-^(0)] x— 1 -h Px—* 4- Qx^- 3 + =r 0.

divisons par x m ~ l çl passons à ta limite x = x , nous aurons en remarquant qu’alors V = o ,

b ■ I, {<•) + fa W = o.

d'où :

Telle est la valeur de b. Cette valeur de 6 traduite en langage ordinaire, nous donne la régie suivante :

Pour calculer le coefficient linéaire de C asymptote ; prenez le quotient en signe contraire de la fonction obtenue- en groupant ensemble tous les termes d'un degré moindre d'une unité que celui dg f équation de la courbe , dans laquelle vous remplacez 1 par 1 tt y par la t racine de' l’équation f t (a) = o et que vous- divisez paria dérivée du premier membre de celte équation: Remarque. — La Valeur de b est fournie par une équation du premier degré en b, doue à chaque vqleur réelle de a correspond une seuie valeur de b. Si l'équation fa' (a) = 0 admet des racines égales, la courbe aura des asymptotes parallèles.

A CT RE MÉTHODE Kl CH DETERMINEE L' ASYMPTOTE D’UfiE COURBE QUELCONQUE.

L'asymptote peut être considérée comme la limite d'utre tangente dont le point de contact avec la courbe, s’éloigne à l'infini.

Par snite, l'équation de l’asymptote s'obtiendra, en supposant x' et y infinies dans l'équation , . .

laquelle est celle de la langeptc au. puini y‘ de la courbe.

Afin de n avoir qu une seule variable, on remplacera dans celte équation y' par sa valeur tirée de l'équation de la courbe ; puis après, celle substitution, on fera a? == » .

Applications de cette méthode.

Soit à déterminer les asymptotes de l’hyperbole dont l'équation rapportée à ses axes et exprimée en fonction de ces axes est :

.La diffùrentiatioq de cette équation donne :

2 d’y dij — 2 b’x dx- = o.

> et par, suite : . ,

- .. '<ky c b*x •

• ■ dx a ! y ’ ,

L’équation de la tangente aii point x', y’ e;>l donc,:

ft V ", -

y— y =-^ri x — x )-

Cette équation peut être simplifiée, car on en tire :

nVÿ — Vhts = ti*y '- — h , r' 1 |l.)

et puisque le. point x ,jj' est sur la courbe, on a : 4 .

Vx'' 1 — — n-K 1 . ...... (2),

l'équation (I) devient donc par substitution :

« ? yy' — b*xx' — -r- a ! fr ! . •

Telle est l’équation simplifiée de la tangente au point x', y'. Résolue par rapport à y, celte" équation donne :

b } [rx' — a 1 )

Portons dans celte éqnation (3) la valeur

tirée de l’équation (2), nous aurons :

Jarjr' — cr)

Telle est l'équation de la tangente exprimée au moyen de l'abscisse x' du point de tangence.

Pour en déduire l'asymptote , il faut y faire x' = » . Avant d'établir cette hypothèse , divisons haut et bas par X' le second membre, nous aurons ainsi:

et pour x' = oc , il vient :

L’hyperbole a donc deux asymptotes donb'les" équations sont : • * % *

L’observation de ces équations montre que, dans l’hyperbole :

1° Les deux asymptotes passent pat l'origine, c’est-à-dire par le centre de la coutbe ; . .

2° Les coefficients angulaires de ces asymptotes étant 4- et — —,

ces asymptotes sont les diagonales du rectahgiè construit sur les axes AA' et RB' de. la courbe.

Soit à déterminer l’ asymptote de la parabole.

L'équation de cette courbe, rapportée à son axe, étant : y* = 2px, .

on en tire successivement : • *

, 2 ydy — 2/>dx,

% JL

dx y ’

L'équation de la tangente au point x’, y' de cette courbe est donc : • y — y'=-ï r (x — x'),

ou bien :

yy z=px + y" 1 —px',

et puisque le point x , y' est sur la Courbe t/’ 1 - 2px’.

yy' =ptc-^px\

par suite

et si l’on remplace y' pâr sa valeur t/2 p.r' tirée de (1), il vient :

Telle est, co fonction de l’abscisse x? du (joint de contact, l’éqûation de la tangente à la parabole- . ...

La division haut et bas du second membre par x' donne :

et pour x' = * , on trouve :