I-a parabole n’fl donc pas' d’asymptote, puisque l’équation

que nous trouvons pour i’asymplotc, indique deux parallèles à l’axe des x, situées à l’infini. . . -

Remarque. — L’ellipse étant uite çourbe limitée ne peut avoir d’asymptote.

Donc , des trois courbes du deuxième degré , l'hyperbole seule a des asymptotes. On peut établir directement cette conclusion sur l’équation générale :

A y* + Bxy -t- Cx ! 4- Dy 4 - Ex -t- K = o.

Appliquons à cette équation la détermination des asymptotes aux . courbes algébriques :

Ici :

f(x, y) = Ay 3 4 - Bxy 4-Cx 3 4 - Dy-t-Ex -t- F .'. m~ 2,

[x, y) = l>y -t- Ex. ’

Pour avoir f, (o) et A (a), il faut dans y., (j., y) et (x, y) remplacer x par 1, y par a, ce qui donne :

(a) =r An*4-Ba -t-C..- ... f t ‘ (a) = 2Aa -t- B,

A («) = Da -H E.

Les valeurs du coefficient angulaire sont les racines de l’équàtion f t (o) — o, c’est-à-dire ici :

Xa* -4- 8« + C = o. (1).

Les racines de cette équation ne sont réelles que pour B 3 — 4AC>o. Ce qui n'exclut pas le cas où B 3 — 4AC'= 0.

L’équation (t) donne:

et en portant ces valeurs dans

A. («) " 2Aa + B ’

on trouve pour h deux valeur* finies, si B J — 4AC > o, et deux valeurs infinies alors que B’ — 4AC = o. .

On arrive donc ainsi à la conclusion établie ci-dessus, au sujet des asymptotes dés courbes du deuxième degré.

Asymptotes aux courbe» polaire».

Soit une courte AA' dont l’équation en coordonnées polaires est

r = fW-

Si une valeur a. de i, donne pour r une valeur infinie, on en conclura que le rayon vecteur correspondant à â = et, ou une parallèle à ce rayon vecteur est asymptote de la courbe.

Pour reconnaître lequel du rayon, vecteur ou de la parallèle à ée rayon est asymptote , prenons un point M de la courbe et abaissons la . perpendiculaire MK sur le rayon recteur PP' correspondant à ê = a.

Le triangle rectangle MPK nous donne :

• MK = r sin (6 — «):•

Pour 6 = « , r = oo par hypothèse ; en sorte que pour 9 = », MK prend la forme

On cherchera la véritable valeur de l'expression r. sin (6 — a) pour 9 = a ; trois cas pourront alors se présenter.

Ou cette véritable valeur est nulle, finie ou infinie.

Si Lira r sin ( 9 — » ) est nulle , limite de. MK = o ; c’est dire que le ravon recteur PP’ est asymptote. , •

Si Lim r. sin (9 — ») est finie, limite de MK est une quantité fihie , h par exemple, c’est dire que la parallèle au rayoïr recteur, menée à une dislanre h de ce rayon, est asymptote (suivant que h est potiiif nu uéijatif, la parallèle doit être comptée au-dessus ou au-dessous du rayon recteur).

ÛA M

- Enfin , si Lini r sin (<| — «) est infinie , on en conclura que la courbe n’a pas d'asymptote, s .. ’ r .

DK QUELQUES COURBES SCR LESQUELLES ON APPLIQUE LES THÉORIES ' PRÉCÉDENTES.

^ 1 Construire la courbe dite folium de Detcarles ) dont l'équation est :

• y 3 4- x 3 — 3axy =rr'o.

L’obserration de l'équation montre que :

1° la courbe passe par l'origine, puisque son équation est satisfaite pour x = o, y = o; * . •

2* l’équation ne change pas alors qu’on y remplace x par y et y par x; donc la courbe est symétrique par rapport à la bissectrice ÛX.

Dope, si l’on prend pour aies la bissectrice OX et la perpendiculaire OY sur OX; puisquè la courbe doit être symétrique par rapport à l'axe OX dés x, il en résulte qu'une même valeur de x donnera pour y deux valeurs égales et de signes contraires. Par suite, l'équation proposée étant du troisième degré en *, par rapport au* axes rectangulaires yO, Ox, ne devra contenir q«e des termes en y’; lorsqu’on la rapportera aux axes rectangulaires YO, OX.

Cherchons cette équation transformée , afin de simplifier, la discussion de la courbe.

A cet effet, prenons les formules :

. ’ * = X eos* — ; Y sin«,

* • ’’ ‘ y = X sin* + Y cosd,

ANALYSE. ;(i

qui servent à passer d'un système d'axes rectangulaires à un autre système d’axes rectangulaires, sans changer d'origine. Puisque le nouvel axe OX de» x, est la bissectrice de l'angle des axes : <t = 45°, et les formules deviennent ... «. ; •

y=(X-l-Y)Vf.

donc la courbe cherchée, rapportée aux axes YO, OX, a pour équation : .

ou» plus simplement, après toutes réductions

.(*) (3 1/2* + Su) y 1 — (3 a — x \/ï) **= 0 .

Cette équation résolue par rapport à y donne : -

y = ±- Vf

ou bien •'

Sous cette forme , on voit bien que la courbe est symétrique par rapport à l’axe OX des x-. ' +

L'équation (1) différentiéé dorme :: ’ ' • •

dy a y/lto — y» — y» -

■ ix ^2a?-t-a \/l y

d'où, en remplaçant y* et y parleurs valenrs. sans s'occuper du double signe placé devant y : * • . 1

rfy

. Occupons-nous maintenant de la discussion de la courbe. Dans l'équation de cette courbe ‘

on voit que : pour x = o, ÿ — o; et, pour .des valeurs positives de x

moindres que , y ne cesse d'être réelle. Pour x= * = °’ cl *

au delà de cette valeur de x, y ne cesse d'être imaginaire. • -, ■

■Donc : si l’on prend sur OX une longueur OA =' la edurbe part

de l’origine 0 et vient, symétriquement par rapporté OX, rejoindre OX en A, et ne dépasse pas A du côté des x positifs. a

Forme de ta courbe à C origine.

La substitution de x = e, dans ~ , donna : • * •• ' ■ *

dy 3a’ ' ‘ • '

. dx~W ~ 1

Donc, à l’origine, la tangente est inclinée de 46° sur l’aie des x, c'està-dire que les anciens axes sont tangents à la courbe.

• Forme de la. courbe en A.

La substitution de l’abaeisse x. du. point A, dans donne :

K le

dx

donc la courboest perpendiculaire, en A,’à l’axe OX. -. ■ ..

Recherche du point piaximum situé entre 0 et A.

Puisque la courbe rencontre l’axe OX en 0 et en A, il existe évidemment un point maximum dont fabscisse est comprise entre 0 et