OA
Pour ce |>oint j- =t o, l'abscisse du point maximum sera donc donnée
ajc
par l’équation :
les racines de cette équation sont :
La première racine, étant négative, ne peut convenir à la question ; la seconde, étant positiva et <04, convient seule,
Donc, si sur 04, o» prend OB ==; a. ' g; on » çu B l'abscisse du point maximum.
La substitution de x = <i. I dans y, donne l'ordonnée du point maximum M.
Cherchons maintenant la portion de la courbe située du côté des x négatifs. A cet effet, remplaçons dans y, x par — x : l’équation devient alors.: -,
Le signe ± qui était devant y est devenu donc la branche de courbe OMÀ, située du côté des-x positifs et au-dessus de l’axe des x, passe au-dessous de cet axe , du côté des x négatifs; au contraire, la branche 0M ; 4, située du côté des m positifs et au-dessous de l’axe des x, passe au-dessus de cet axe, du côté des x négatifs.
Les valeurs données à x dans (2; doivent être comptées à gauche de l’origine.
Pour toute valeur de x moindre que “ Ç/c>, !/ nc cesse d’être réelle.
Pour x — " ÿ=, y=oo,ctau delà de cette valeur, y reste constamineut
imaginaire. ’ •
Donc si l’on prend :
et si l’on mène la perpendiculaire DD' à l’axe OX ; la courbe, partant de l’origine 0, va rencontrer DD' à l’infini en restant. symétrique par rapport à l’axe 6X: et au delà de PD' if n’y a aucun point de là courbe, l-a droite PD' cet donc une asymptote de la courbe. ••
Calcul direct de (’ asymptote DD'.
Iteprenons l’équation proposée :
j^-t-x 3 - — 3 axy = o,
rapportée aux axes yo, Ox.
Celte équaiion est du troisième degré, donc ici :
(jt, ÿ) = x» + y* y«.i (x, y) = — 3 ajry.
par suite : • '
/ f x [k) =.* 3 V». ( t (k) = -3ak.
Le coefficient angulaire k de J’asymptote sera donc donné par Icquation :
* î + l = cr, ’ ’ « • ’
laquelle n’admet que la seule racine réelle, k = — 1.
Le coefficient linéaire b de l’asymptote a pour expression :
f t (k) ~ + a * 1 Tt
et pour k — *- i,
Là courbe n’a donc qu'une seule asymptote dont l’équation est :
Hf marque. — Sur la figure OP — OP' = a, et l’on voit aisément que
Aire de la courbe. — Proposons-nous de calculer l’aire de la feuille OMAM'O. — A cet effet, reprenons l'équation de la courbe rapportée aux axes yO, Ox.
• . . {r * + x 3 3aj'y = o>
Pour plus de simplicité , nous rapporterons la courbe à des coordonnées polaires, en prenant pour pôle l'origine 0, et pour axe polaire l’axe Ox; les formules de transformation sont alors :
. • * x =• rÆds i, f
y = r.sin ô.
L'équation exprimée en coordonnées polaires a donc pour expression : . ’•
r* (sin 3 0 -t- oos’fl) — 3ar } sinô cosô — o.
d’où
— ‘Oi sinfl cosi i
. . • r ~ sin’é -+- cos’â ’ . . .
et en divisant, haut et bas, par cos’ô, il vient ;
^ cos’Ô
l + tg«
or sur la figure . A, étant l’aire de la feuille OMAM'O, on a :
La substitution de r, dans cette expression, donné :
di
cos’fl , ,
il + tg’S) 4 (u)
di
cl si l.’on remarque que — , = d Ig-, on a successivement ;
('OS o
J (î+tg’e} 1
tfi’fl d tg»
V atg’Mtc»
= J ■ , 3 , ('f-i-ïg s «] r - •
. 1 r d'e 5 * * ftf(n-tg>ô)
~ 3.’. J JT+ tg J »)* ~ » ‘ J 1TTW =3 / (i +te , «) J <i'(i + tg‘«)
3' l+tg*8
Pour S «= o, ce résultat devient : — ^ + C.
Pour ê =s. j ce résultat devient : o + C.
Donc :
dû
cos-t
(l + tfê)’ 3"
l'équation (u) donne alors par substitution’ :
Telle est l'expression de Poire de la feuille ÔMAM’O. II. Construire la courbe représentée par, l’équation :
, ■ , V 4 — 9S.a ! y ! -i- lOO.aV— x* = o.
L’inspection de «elle équation, montre qpe :
'1* La cobrb.e passe par l’origine. ,
2° Ne contenant que despuissanc.es paires de x et de y,. la eourbe est Symétrique par rapport aux deux axes coordonnées.
3° L’équation ne change -pas alors qu’on y remplace x par — x et y par — ,y; donc f origine est le centre de la courbe.
