équation résolue par rapport à y domne

V^lSa 8 + — iOOa’x* + a*.

La décomposition de la fonction placée sous le second radical donne , successivement :

. • = ( ar-r- 6*).{x-t- fia ).( x — 8a ).( x -f- 8a ).

donc : ...

y = -il V 48a’ +' \/ (x — 6a) .■(x-t-6/i) ."(» — 8q).(.i -+- W). . .

Le signe ^ placé devant le premier radical indique que la courbe est symétrique par rapport à l'ato des x. Nous ne nous en préoccuperons pas.

Pour a* 3= o, on trouve pour y les valeurs ; ' • -

Si donc OA = OA’ = la \/(t : Porigine et lés deux points A et A' sont les deux points de la courbe situés sur l’axe des y.

Pour des valeur» de x conqiTises entre 0 et f vï, du a pour y quatre valeurs réelles, égales, deux à deux et de signes contraires.

Déx = 6a à x = 8/i, toutes les valeurs de y sont Onaginffires: de * = 8aàx= 10a, les quatre valeurs de y sont réelles ; enfin.de x= 10./ à x = po , deux valeurs de y seules sont réelles et vont indéfiniment en

croissant.

Forme de la courbe à l'origine, %

l-a différentiation de l'équation donne :

dy x 3 — 5Qa ? jr dx ~ y* \8«V

Pour : x = o, y — o, devient au lieu de remplacer y par sa valeur , cherchons dans l’équation

i/ v — 96a ! y* +■ lOOa’x* — je* = o

la limite du rapport pour x = o.

La division de (1) par je 1 , donne :

( p- ) ÿ’ — 96o ! ^ + 100a 1 — je 1 = o.

pour : x =. o, y = o cette équation devient :

06a 1 Lim ( ^ J — lOOo 5 = o

d'où :

et par suite :

Lim - = + — 5=r .

Donc les tangentes à l’origine ont pour équations

if =

, Pointe maximum!. . .

Pour oes points |p = o, les abscisses de ces points sont donc données par l’équation :

x 3 — oOa 1 ® = o.

d'où :

x — O, x = ;£ ba. j/i

ANALYSE

Or 5a l/2 est plus grand que 6a, et l’on sait que de 6a à 8a les valeurs de y sont imaginaires; la solution x = o convient donc seule pour les points maximums, donc les points A et A' sont les seui$ points maximums de la courbe.

Recherche du atgtnpjolc» de la courbe.

En appliquant la méthode des asymptotes des courbes algébriques, à la courbe proposée dont l’équation

y 4 — 96a y 4- iOOa’x* ■ — x* ~ O

est du quatrième degré, on a successivement :

*«. (*, y ) = Tm— i ( *, y ) ~.o.- •

tl’où les deux racines réelles -t-1 et — 1 pour le coefficient angulaire K de l’asymptote; et, puisque le coefficient linéaire b est nul, la côurbe proposée a deux asymptotes dont les équations sont

y = «» • y — — ce.

Ces asymptotes sont les bissectrices des angles des axes.

La courbe proposée a la forme indiquée sur la figure.