I-a droite KK’ est asymptote de la courbe
Forme de la courbe aux points A, B et B’.
l.a différentiation de Y équation de la éourbe donne : v .
dy • 4x dx ~ 4- 1 )*’
• du • *
Au point A : x =o, ^ =. o, la epurbe est donc tangente en A, -à la parallèle CC’ menée à l'axe des x.
Au point B : x— 1, = 1.
AupoimB’:x = — i, ^ î — < 1. . *
\» courbe, en. B et en B', est donc tangentb aux droites AB et AB".
Le point A est évidemment un point maximum..
Recherches des points d'inflexion.
L’équation de la courbe donné :
* rfy 4(1 — 3x a ) *
dx? (x* -+-i ) J
* O et
Pour les points d’inflexion : — o ; donc ici il existe deux points
d'inflexion dont les abscisses sont données par l'équation : 1 — 3X 5 = o.
Les coordonnées des points d'inflexion sont donc :
Au premier point d'inflexion M , la tangente a pour inclinaison
Recherche directe de l'asymptote KK\ •
L'équation de la courbe, mise sous la forme :
donne :
et pour x = x
Lim - = o.
IJasymptote est donc parallèle à l'axe (tes x.
. Cherchons maintenant le coefficient linéaire 6 de l'asymptote.
. On a : é=Lim ( y — ax). Puisque n=o, cela rerient à chercher Lim y pour x = » . Or Lim y = 1, l'asymptote de, la courbe a donc pour équation y =; 1. Ainsi nous retrouvons KK‘.
Aire de la courbe.
A étant l'aire de la courbe comprise entre l'axe des x et l’arc BAB\ on a :
La substitution de 1 / donne successivement :
r , ^v— 1 )dx r[x*+ « r **
J » " X = J L Wr = J ~Wi — 2 y TS?
* x — 2 arc tg-x -+- C. ’
• ( * pour x = o, cette intégrale devient C. ,
pour x = 1, «lie devient; 1 — -J + C. » •
Donc:
Remarque I, — L’aire. ^ représente la surface du demi-cercle dé- %■ , *
crit sur BB' comme diamètre; donc la surface de la courbe B'AB est égaie à celle du demi-cercle, moins le carré du rayon OA, c’est-à-dire que l’aire-comprise entre Je demi-cercle et l'arc BAB' est commcnsurablè.
Remarque 11. — Proposons-nous de calculer Paire de la courbe comprise entre la parallèle UK, à l’axé des x, la parallèle BU à Taxe des y et la branche infinie qui part de B.
A cet effet, transportons les axes parallèlement à eux-mêmes au point U dont les coordonnées sont x =» 1, y = 1.
Rapportée aux-nouveaux axes YU, UK l’équation de la courba devient :
J 1 ~ (jT-t-lj’rt-l’
ou plus simplement :
9 = (x + l) 1 + r L’aire cherchée a pour expression :
J ,J ~ l {x+ir+i= J 1 -+- (x-t-i)’
or :
J (x + lj*+l
. Ç d (x-t-1). = et puisque pour x = x . arc Ig àc =j, on a
• le
(ï+lji = arc tg (* 4- 1) + C.
Cette 'équation ne contient l’angle 6 que par son sinns, il en' résulte que la courbe (]u'elle représente est symétrique par rapport à la perpendiculaire KK’ menée au pôle sur l’trçe polaire Par.
ir 3
Il suffira donc de donner à 0 des valeurs' de 0 à ^ et cjp-g it à 2t. -,
Pour 0«= o, r = 1 ; si donc PA = 1, A est un point de la courbe.
Pour des valeurs de é, comprises entre 0 et r croît positivement de 1 à l’infini.
Pour 6 = J , r = » .
Sj donc on fait en P un angle yPa> = 30*, il s’agit de savoir laquelle des droijes, Py ou une parallèle à Py, est asymptote de‘la courbe.
Cherchons donc la limite de l’expression rsin ! fi — 30”) pour 0 ±= 30”; on a :
r sin (£ — 30”)
sin (0 — 30* ■ 1 — 2 sinS
Pour A = 30°, ïe second membre devient eu appliquant ici la règle connue pour la recherche des expressions de ce genre , on trouve :
t • r ■■ I A «IV, \ 1 COS ( A — 30° ) Lun [rsin(fl 30")] = • ZTïTosSÔ*
Donc : si sur Py et au-dessous de cette ligne, on mène à eette ligne la
parallèle aa' distante de — î-= , la droite aa' esi urie asymptote de la
courbe. • . ... j »
Au delà de A = g , r devient négatif , les poiuts correspondants de la
courbe seront donc situés dans l'angle y'PK' , noiis u’avons pas à nous en occuper , puisque noüs l'avons dit plus haut , il Suffit de déterminer les points de la courbe, situés à droite de la perpendiculaire KK'.'
Pour A = g, r = — 1 : donc en prenant PB = 1, on a e» B un point
de la courbe, ce point appartient à la branche située dans l’angle y'PK’.
De S a?’ à- A c= ^ -t- ^ , r est négatif et les points correspondants r de
la courbe sont situés dans l’angle rPy". >J -
Pour A = t — g, sinA = ^, r = ao , et l’on trouve Comme précédemment que la parallèle JJ’, menée à Py", au-dessous de celte ligne et à
une distance égale à est asymptote de la cotfrtoe.
De * — g à *•, r redevient positif et les. points correspondante de la
courbe sont situés dans l'angle y"'Vx ; nous n’avons pas à nous en occuper.
De j vki t, A est négatif et r devient
t T 1+2 sinA '
Pour A = ^ -m, r — g; si donc l’on prend OB' = g,/ on a en B’ un
point de la courbe; A croissant de à 2 t, r croit de g à I; la courbe revient ainsi en A.‘
A droite de KK', on a les deqx branches de courbe B'AU et BU’.
Lâ courbe totale se compose donc des deux branches infinies .tracées sur la figure.
Celle courbe est une hyperbole équilatère dont l’un des foyers est le pôle.
Forme de la courbe en RrlinB'.
L’équation proposée donne par la différentiation :
• ‘ r. d) ... t — 2 sinô .
— J— ou Ig V = — r — .
, dr 2co»0 • , .
Au point B, 0 = ^-, cos0 = o, tgV = <*> ; en B’, 0 = g t, co«0 = o, tgV = ®. * .
Donc, en ces points, les tangentes sont perpendiculaires aux rayons vecteurs, c'est-à-dire que les tangentes, en ces points, sont parallèles à l'axe polaire.
• Aire de la courbe.
L'aire A d'une courbe exprimée en coordonnées polaires a pour ex-
pression A = g J r 3 A0, et, puisque ici ne f ^ g . — , il s'agit de cal-
culer :
• J ( t — 2sj
■ üsjné ) r
A cet effet, posons 0 =90* — % ; alors d0 = — dç, par suite- /(l— 2sin0P ~ — /( 1— 2cosv)’- * ^
Soit tg | = s; d'où :
