J( u — 1) d(u— 1) — | log(w

D’où :

Et, puisque :

on tire :

“•= v/5- te (w-| )■

On a donc Hnalement :

.r d6 2 [«Vâtg (•«•-!)

3 V 5 l 3%I ( 4Sb |) 1

\/3tg(45»-|) +1

l/5tfi.(48*-4)-l

. -Cette formule permettra d’achçver la détermination complète de l'aire de la courbe. ' . '< \

Remarque ■*- On trouverait plus aisément l’airç de la courbe

r = — — J-4 — , en rapportant «ette courbe à des' coordonnées recti- 1 — 2. stn 9 ^ r ,

- lignes. En prenant l’axe polaire pour àxe îles x, et la perpendiculaire élevée au pôlfe sur cet axe, pour axe des y ; la courbe proposée a pour équation: • .• ... ’

• .. . 3y J r—. -f- iy -+- ,1 = o. *

Construire ta eourbe reprétentée par l'équation ) . -r

. ' . . a cos 29

Pour 9=-o, r«==ae ; il s’agit de savoir si c’est l'axe polaire Pa:, ou une parallèle à cet axe, qui est asymptote de la courbe.

• A cet effet, cherchons Lipi r sin 9, pour 9 = o.; on a :

Lim r sio9 *= Lim à cos «9 = a, pour l?o.

si donc, au-dessus de l’axe polaire et parallèlement à cet axe, on mène là parallèle KK' à la distance PA = a, la droite Kk' est asymptote de la courbe. , •

Pour dés valeurs croissantes de 3 , comprises entre 0 et 45", r va en' diminuant et en restant positif; pour 3 = 45°, cos 23 = o, r = o. La courbe passe donc eu P. (

De 45° à 90° , cos -23 devient négatif . sin0 est positif, le rayon vecteur est donc négatif, il est croissant en valeur absolue; donc, de 45° à 90° , là confbe passe au-dessous de l’axe polaire et se trouve dans J r ângle B Pi/’ ; pour 3 = 90° , cos 2; =± — 1 , r — — n; si donc, l’-on prend PA' = PA on a en A' un point de la eourbe.

De S’= 90- 1 à 0 = 90° ■+• 45°, cds 21 est négatif, sin0 est positif; donc, la courbe reste au-dessous de l’axe polaire et .entre Ges limites , elle se trouve CQtnprise dans l’angle li'Piy". Le rayon vecteur décroît en valeur absolue çt pour ê = 90° ; 45°, ‘cos 23 = o, r tz. o ; la courbç repasse donc au pôle.’

Pour des valeurs de 3 comprises entre 90°+ 45° et 180°, pos23 redevient positif, siné est aussi positif, le rayon vecteur l’est donc aussi: entre ces limites, il est croissant et pttur 3 —.180°, r = «C L» courbe est donc comprise dans l’angle.y"'P.r' , et l’on voit , comme ci-dessus , qu elle est asymptote de la parallèle KK'. . *

De 6 = 180° à 0 = 38Oe, cos 23 va repasser par les mêmes valeurs que nous venons de considérer, sin 3 reprend aussi les mêmes valeurs absolues négatives. On retrouve donc de 180° à 360° la même courbe, seulement elle se trouve symétriquement placée par rapport à Taxe polaire; cette nouvelle branche passe en A et elle a deux branches iith'nies asymptotes de la parallèle VV”, menée par à' à l’axe polaire.

forint de In courbe au pote I’, en A* et en \.

l/équation do la courbe donne par différentiation :

■dù 1 gin*j

dr -ri ’ cosfi. cos2ô + 2 sin{. sut 28

t sht» 8

a cos 8 + sia ô.sin 2j ' .

d'où :

r rf8 * y . ’ sin 8 cos28

dr ° U — cos 8-t- sin.S'sin 2j

Au pèle P, S = V5°, tg V = o ; donc, au pôle, la courbe est tangente à la bissectrice Py de l’angle APjh ,

En A', 8 = 90°, .cos 28 — — 1 , cos ê = o, sîn 28 = .o; par suite, tg V = » , la courbe est donc en A', tangéntc à la parallèle IT, menée à- l’axe polaire.

De même, la courbe est tangente en A à la parallèle IHJ*. La courbe a donc la forme indiquée sur la figure

Le pôle esf un point multiple et chacune des quatre hranches qui y passent ost respectivement tangente aux-droites.yy', y”y'".

Aire de la courbe.

Proposons-nous de calculer l’aire A dit folium PmA'm'P; celle aire sera donnée par l’expression :

r 1 di.

car sur la figure aire PmA'm'P zz 2. aire Pm'A’ Cherchons d’abord l'intégrale indéfinie :

I t la il cos 1 2 ) d)

J .1 stn J j

à cet effet, on a successivement : •

“ cos 1 26 dS C ( 1 — sin 1 26 ).dè '

Ç cos 1 2 6 d6 r I

J sin 1 6 J

sin* 6

— f pun* 29.49

J sin* 5 J sin* 9

r 4 sin* 9. cos 1 6-di cot 6 — J -

sin 1 6

= — cot fl — 4. J' cos* 6.d6.

Mais on a trouvé ( iutég. III , page 169 ) :

cos 1 6.d6 — g sin 9- cos 9 + g-

Hotte par substitution :

f cos 1 29. 49 • . . o « «

/ — . j— = — cot 9 — 2 stn 9. cos 9 — J sin J 9

cl eu portant cette valeur dans (m) il vient :

■ r J' r*.49 = — a* [ cot 9 4- sin 29 4- 29 | 4- C.

Pour 9 = r , cette intégrale devient :

Pour 9 = g, dette intégrale devient

"Par suite :

Telle est l'expression de l’aire cherchée.

DD CBÎtTRE DES COURBES. i .

On appelle centre d’une courbe, un point tel que tonte sécante passant par ce point, rencontre la Courbe en des points qui sont deux à deux équidistants de ce point.

Il résulte de cette définition que si l'origine des coordonnées est placée au centre dStne courbe quelconque, l’équation de la courbe ne sera pas

altérée lorsqu’on y remplacera respectivement x et y par — x et par — y.

En effet, soit une corde MM d’une courbe passant par le centre 0 de cette courbe ; le point 0 est supposé l'origine des coordonnées.

Puisque 0 est lé centre de la courbe, on a :