MO =0M
Par suite, les triangles MOP, M’OP sont égaux comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux;
donc : •
mp = mr, op = 0P'.
Lés coordonnées du ppint M' sont donc égales à celles du point M, et elles sont de signes contraires.
Donc, si x, y sont les coordonnées du point M, — x et — y sont oclles de M'; et puisque M et M' sont deux points de la-coorbe, les coordonnées x, y et — x, — y satisferont à l'équation de eeite courbe.
La réciproque, est vraie, - c’est-à-dire que :
Si l’équation d'une courbe ne change pas alors qu’on y rêm place et y par — x et par — y, l'origine- est le centre d/e la courbe. •
Donc pour obtenir les coordonnées inconhues a et 6 du centre d’une courbe, dont l'équation est f{x, y) = o, nous transporterons les axes parallèlement à eux-mêmes au point dont les coordonnées sont a et b ; l'équation de la courbe par rapport aux nouveaux axes serir"
()n profitera 'de l'indétermination des quantités a et é, pour faire disparaître les termes du degré impair si l’équation est de degré pair ou les termes de degré pair si l’équation est de degré impair.
Les' éqaatiofls de condition ainsi déicrminéas feront connaître, a et b.
La courbe proposée aura donc on centra on n’en aura pas, suivant
que l'on pourra tirer de ces équations des valeurs réelles et finies pour a et b, ou que les équations de condition seront incompatibles.
Si les équations sont indéterminées, il y aura une infinité de centres.
Il résulte de ees considérations que si l’équation d'une courbe est de (Jejjrè impair, sou centre, s’il y eu a un, se trouve sur celte courbe, car l’équation ne devra pas contenir de terme indépendant des variables x et y. - . ..
Ainsi, la courbe y = x 3 a pour centre l'origine -
Kn appliquant la marche, que nous venons d’indiquer pour déterminer le centre, au* courbes du deuxième degré, on a vu que parmi ces courbes, l'ellipse et l’hyperbole seules ont un centre.
Si une courbe a deux centre p, elle en a une infinité, tous situés nu r Ut ligne qui joinj ees deux rentres.
Supposons que 0 et 0’ soient deu* centres d’ùnc même courbe. Menons une sécante quelconque -AB, par le premier centre O; alors AO ==OB, et si Ton joint AO' et BO' et que l’on prolonge «le telle sorte
Les points A'. et B’, appartiendront à la courbe, puisque 0’ est aussi un autre. . •
^ -En. joignant A'B' on obtient donc une corde quelconque de la courbe et puisque cette, corde est divisée en O" eu deux parties égales, il en résulte que le troisième point 0" esl aussi un centre de la courbe. . . • - .. r
Des .centres 0 et 0" ou des centres O' et 0”, on déduira un quatrième centre et ainsi de suite. . • , ••
Remarquons ici que, dans ce cas, on trouve une infinité de point s de la courbe , situés sur les deux |>arallèles AA’ et BB menées à la ligne qui joint les centres. . ^ . .
D’où il résulte que : les courbes algébriques ’nr peurenj avoir qu’un centre, car une courbe algébrique né pçut être rencontrée par une ligne droite qu'en un nombre déterminé de points (autant de points qu'il y a d'urdtés dans le. degré (le son équation ).
La courbe transcendante ;/=sin r, a une infinité 3ê centres, lesquels
que l'on ait : * ' .
■ 0'A' = OiB,
sont sur l’axe des x, aux points dbnf lé* sttSHSS® Sbftt x ëi K.» tpi te lieu de ses points maximum forme l'ensemble de deux droites parallèles à la ligne des centres.
. DES DIAMÈTRES î> UNE COLRBE.
Par dtamètre d’une courbe, on entend le lieu géométrique des milieux des cordes de cetto courbe, parallèles à une direction donnée.
Chercher le diamètre d’une courbe, c’est résoudre la question sui-
La direction m d’tfne droite y=fnx+n et l'équation f(x,y)=o d'une courbe , étant données ; trouver le lien des milieux de toutes les cordes de la courbe, praralièies à la direction, donnée.
Soit AA' la courbe dont l’équation est f[x, y) = o\ soit BC une corde de cette courbe parallèle à __ la direction donnée.
* SI l’on transporte IS axés parallèlerftent fi éux-mèhiès au point milieu M de cette corde, l’équation de la bourbe rapportée aux nouveaux axes est ’ . •
f,[cc-è-x", y -+- y') = o.
x et y’ représentant les coordonnées du point milièu .M. L’équation de la corde BC est alors y = mat, puisque M est l’origine.
Le& coordonnées des point# B et C d’intersection de ia courbe ({jc + x\ y + y' } = o et de la droite y = wx sont donc égales et de signes contraires puisque M est l’origine.
Ces. coordonnées sont données par ia résolution des 'équations :
f fx H- y -4- y' ) = o.
y nue . •
L’élimination de y entre ces deux équations donne l’équation :
(\fX ■+- x’, mX 4- y' ) = u.
laquelle a pour racine# les abscisses des points B èi, C ; .4! I’6rt V Vtprime que les racines sont égaies et de signes cotrtfaires, t>rt arrivera à
ANALYSE. 37
vante :
iy
une équation ;.ne eèntenantque x', y' et m
laquelle est une relation entre les coordonnées du point milieu d'une corde quelconque parallèle à la direction m.
Cette équation est donc celle du diamètre cherché.
