V. Construire le lieu de l’équation r

1—2 sin b' a. cos 2 b

Ou centre des courbes.

Lorsqu’on transporte, parallèlement à eux-mêmes, les axes coordonnés au centre d’une courbe , la noùvcllc équation de la courbe ne -change pas alors qu’on y remplace i par — x et y par — y : . . 287

Si une courbe a plus d'un centre, elle en a une infinité tous situés en ligne droite.

Les courbes algébriques ne peuvent avoir plus d’un centre.

Dans une courbe algébrique de degré impair, le centre est sur la courbe. . . 288

Des diamètres d’une courbe. r

Recherche des diamètres d’une courbe tpielconque 290

Des diamètres des courbes dit 2* degré. 1 f [ .r, y ) — o étant l’équation générale du 2 r degré à dettï variables, et m étant la direction des cordes parallèles qu’un dia-

ANAt.YSR. d

mètre divise en parties égaies, l'équation de ce diamètre est

P**es.

Af

rfy

df

Les diamètres des courbes du 2* degré sont des lignes droites et passent tous par le centre.

La tangente à l’extrémité d’un diamètre d'une courbe du 2' degré, est parallèle aux cordes que ce diamètre divise en parties égales. 290 Dans la parabole, tous les diamètres sont parallèles. .... 291

Des diamètres conjugués dans les courbes du 2' degré 291

Des axes dans les courbes du 2* degré 292

Contact des courbes plana.

Définition des infiniment petits de divers ordres. . . . . . 292

Théorie des contacts.

Deux courbes ont en un point un contact de l’ordre n, lorsqu'on ce point la différence de leurs ordonnées est un infiniment petit de l’ordre n+1.

Il résulte de cette définition que si y = f[x) et y = F [x) t sont les équations de deux courbes , ces deux courbes auront un contact do l’ordre n en un point, si pour l’abscisse de ce point on a :

F (*) = fl*); F’(*)=n*); F" (x) = f" F W (*j — f 294 Lorsque l'équation d’une courbe contient n -4- 1 constantes indéterminées, on peut l’assujettir par les » 1 équations précé-

dentes, à avoir avec une courbe donnée un contact de l'ordre n. 295 Droite oieulatrice. Elle a un contact du. 1” ordre avec une

courbe. C’est la tangente à cette courbe 29i*

Cercle oscillateur. — C'est le cercle qui avec une courbe , a un contact du 2' ordre.

Les coordonnées « et C de son centre sont données par les équations

rfy*

dx 2

son rayon R a pour valeur :

.rfy

rfy’

dx'

dx*

rfy*\

dx')

<P y dx'

Pagf».

xxxj

Dans ces équations les rapporta sont tirés de l’équa-

tion de la courbe , avec laquelle le cercle a un contact du 2* ordre. . . ' . . . ' 29fi

Propriétés du cercle osculaleur :

I. Le centre du cercle osculateur en un point d’une courbe, est sur la normale de ce point.

II. Le centre du cercle osculateur est dans la concavité de la courbe.

HL Le cercle de courbure et le cercle oscillateur sont identiques. 298

liquation de la développée d’une courbe.

La développée est b Keu des centres des cercles osculateurs de

la courbe 299

Propriétés de la développée :

I. Le rayon de courbure en un point d’une courbe est tangent à la développée de cette courbe.

II. Un arc de développée est égal à la différence des rayons de r

courbure des extrémités de cet arc. . ■

Rayon de courbure et équation de la développée de l'ellipse :

Hayon de courbure el équation de la développée de T hyperbole

u («V+6 4 «* ) a' 3 y J 3 3 3 'mi

Rayon de courbure et équation de la développée de la parabole : *

k = l £±P - L . C l = sr- . ( « — p )* 305

lie quelques quadratures.

Aire du cercle r. R - ' 307

Aire de la parabole.'. . . g xtj. . . . " . . ... . -, 308

Aire de l’ellipse xab 308

Aire de l’hyperbole.

Rapportée à ses asymptotes Log(j).-. . ." . . 310

Rapportée à ses axes ^ v x 1 — a’ — ^ 1°G ( -f ri- V — 1 j- 312

JCXS1J

Pau»

I 7 - fi

Aire de la spirale logarithmique — j 1113

Aire de la spirale d’Archimède ~ o 5 â 3 . . . . . • . . . . 313

Aire de la courbe logarithmique ml x" log ^ — - ) — x' log I. 311

Différentielle de l'aire 2 d’une surface de révolution.

d2 3 : 2-r. yds ’. ... 311

Application. — Surface de l'ellipsoïde de révolution. . . 314

Volume de l’ellipsoïde de révolution. 310

Expression d’un arc d’ellipse, dont les points extrêmes sont déterminés par les angles que les normales en ces points, font avec le grand axe . \ . ; . . 317

Elude de lit cycloïde.

Génération de la cycloïdc.

Équation de la courbe.

x=a arc cos a —^- — \/ ~ a, J — '/■ • ‘ ' ■ , *. . . 319

Tangente à la cycloïde 320

Expression de la normale. 322

Le rayon de courbure de la cycloïde est double de la normale. . 322 La développée de la cycloïde est uue cycloïde. . • . . ' . . . 323

Aire de la cycloïde. 323

Longueur de l’arc de cycloïde 32(î

Surface de révolution eugendréc par la cycloïde 327

Volume de révolution engendré pur la cycloïdc 328

De la chaînette.

Équation de la chaînette ;/ = ^ ^ d ** -4- e ° J. . . . . . 328

Construction de la courbe . 330

Dans la chaînette le rayon de courbure est inversement proportionnel au carré du cosinus dé l’inclinaison de la tangente. - • 331