SS

dx ’■

De plus, leurs centres sont tous deux sür la normale du point considéré et dans la concavité de la courbe.

Ces deux cercles ont donc même rayon et même centre ; par suite ces cercles sont identiques.

ÉQUATIOX Dt U DÉVELOPPÉE.

Si entre leé trois équations

. ... dy " 1

1 + dU +l .

dans lesquelles : a et Ç sont les coordonnées du centre du cercle de courbure en un point, particulier x\ y' de. la courbe f[x, on éli-

mine x' et y'; on arrivera à unb équation ç { «, C ) laquelle sera le lieu des centres de coutbure.

Un tel lieu prend le nom de développée de la courbe f [x, y) — o.

■ • I. Propriété! de la développée' d’une eburbe.'

Les équations :

dy" 1 . <Py’

1 + dï’~* (y ~ C] dh-°-

qui servent à déterminer les coordonnées a, C du centre de courbure ou du point de la développée, correspondant au point (x', ÿ' ) de la

courbe donnée f(x, y) — o, ont lieu quel que soit le point considéré ; si donc l’on donne & x' un accroissement infiniment petit, les quantités y', u. et£ qui varient avec x (*) et qui par conséquent sont fonctions de x' prendront des accroissements correspondants et les équations (t) et (2) seront encore satisfaites ; les accroissements de leur premier membre seront donc nuis et par suite leurs dérivées par rapport & x'.

L’équation (t) différentiée, en considérant y’, a et C comme fonctions dV, donne :

eygf+(V-*) g = o.

d’où :

iï. + (v ei -4- ^

rfx- ‘ dx" 1 ^ dx" 1 dx‘ dx‘

Et à cause de l’équation (2) :

d’où :

du dC dy'

dx' dx' ■ 4 dx'

de.' dx

Cette équation montre que : le rayon de courbure ou la norihale en un point de la courbe f[x, y) xz'O, est tanyent à sa développée au centre de courbure.

Cette propriété pouvait se déduire à priori de ce fait, que le centre de courbure en un point est la limite du point de rencontre de la normale eu ce point et de la normale infiniment voisine ( page i46, 1°).

IJ. Reprenons l’équation •

*’ étant variable, les quantités y’, a, C et R sont fonctions de x'.

En différentiant cette équation, il vient : .

f x 1 — « ) dx — (pc — a)ttu~h(y‘ — C ) dy' — fy’ — 6) dC zx R.t/R. d’où :

Or, les coordonnées #, C du centre de courbure, sont données par

(*; En effet, si l’on donne à j- un accroissement, on obtient on nouveau point de la courbe x, y )= o, «t à ce nouveau point correspond un uouveau point sur la développée. •

les équations :

4 dy'* . , 0 \ d *i/ •

1 + 5 Ji + (y-C) dj ,,= o.

L'équation précédente devient donc à cause de (1) :

-(* ïp-(»

dC

dx'

H. dH dx'

On vient, de démontrer la relation — -- on sorte que Toqua*

lion (1) devient : .

et si l’on résout les deux éqdations :

de 4

d: R. dit

dx'

en y considérant x' — a et y' — C comme inconnues, on trouve successivement :

, , /d**4-dCV „ rfR .. . , . • R.dR.d:

La substitution de cette valeur de y ' — î dans la première équation (a)' donne :

R.dR.d*

; '* • * d^Trfë**

Et si Ton porte les valeurs de x’ — « et de y' — C dans l'équation • '

il vient après réduction : •

dR !

. ’ d«? -t- dC !

d’où :

dR =

Or si Ton appelle «■ Tare de la développée dontlequation esl % (*j C )

dr = v/rf* 1 + d(,\

on. a ( page 143 ) :

par suite :

d, = dit.

d’où, en intégrant, il vient R' et R* étant les rayons de courbure extrêmes de l’arc i

c’est-à-dire que :

Un arc de la développée d'une courbe est égal à la différence des rayons de courbure de celte courbe, situés ou r extrémités de cet arc.

Si donc l’on considère un arc de l courbe AB dont l'arc correspondant de

la développée est ab ; les normales extrêmes de l’arc AB sont Ao et Bé; et l’on a :

. arc ab = Ri — A a.

Par suite , si l’on conçoit un fil inextensible tendu en B suivant B6; en enroulant ce fil sur la développée ab, de telle sorte qu’il lui soit constamment tangent, son extrémité B décrira la courbe AB.

C’est celte propriété qui a fait donner le nom do développée d’une courbe au lieu géométrique -de ses centres de courbure.

Appuçations. — Déterminer les ilévrkppécs des courbes du deuxième degré fl leurs rayons de courbure.

Avant de passer outre, rappelons les formules trouvées ci-dessus :

dx*

ePy

dy

x — a = — dx

Te*

lx ï )

dx 1

lesquelles ont lieu pour un point*, y d une courbe, correspondant au ppint a, C de sa développée.

R est le rayon de courbure îtu point *, ÿde la courbe.