Rayon de courbure et développée de l'ettipse

L'équation o’y ! 4- IPx’ = aV de l'ellipse, donne en la différentiant deux fois, et en y considérant x, comme variable indépendante :

a*y dy 4- b’x dx = o d’où : — -*• (1)

à * dy * 4 a’y <Py + 4 3 dx 1 = o.

Cette dernière' équation donne successivement à cause de (4) :

d’y dx *

AL

dy’

ydx’

aWy * + b*x* . b’ (a*y* 4- b*x’)

Et puisque : o'y ! + b’x* — a’b’,

La substitution des Valeurs tronvées pour Zp dans l'expression de R, donne puisque R est une valeur absolue :

( 1 + iiv).

(a*y ! H- 6*x 5 ) : . ’ ô*fc*

Telle est l'expression du rayon de courbure de l’ellipse. dr

aurons :

Substituons les valeurs de et dans y — C et x — r <t, naus

fc'x* '

, ay

y ~ — zr

ay

(ay + 4*x 1 ) y ' « 2 4**

fc’-r (a*y’ + y . • (a*)/ 1 4- b’x’) x , ,

x a ~ «*» ' nV,*- ^ u v;i r ‘ W)

L’équation a 1 y* 4- 4*** = oV donne :

6‘jc 1 — a’b* — a’b’y 1 , a*y* = a*t* — aPb’x*.

Afin d’élimifier x dans (p ) et y dans ), portons dans ces équations les valeurs b'x 1 et o*y* ainsi obtenues, nous aurons d'abord dans (p) :

/• ( a V "+• a? 6' — fl’i’y 3 ) y

J b ’ — • —————J ST"."'

d'où :

et en posant a 1 — ii*ï= e 3 ,

— Z = —jjr'J J d’où y =■

puis dans (q) :

et puisqu'on a posé :

d'où x = ■

Et en portant les valeurs de y et de x, de ( r ) et ( « ) dans l’équation a*y / -t- 4 2 x ! = a'-b 1 de l'ellipse, on a :

ou plus simplement :

b C -ha a = C

Telle est l'équation de la développée de l’ellipse. On en déduira aisément la construction de la courbé.- . . • • .