III. Rayon de courbure et développée de In parabole

En différentiant deux fois l’équation y* 2;>jr de la parabole, on trouve :

ydy =i pdx. ........ d’où : — — £,

dx ■ y

,, . . d'y ’ rfy* p* •

dx 1 ydx' y*

yd'y -h dy‘ — o

La substitution de ces valeurs dans R donne :

Telle est l’expression du rayon de courbure de la parabole.

La substitution de» valeurs de et -44- dans v — C et x —

•> . * • dx . rfjr* 3

donne d'abord :

ANALYSE

d'où — C =: -p- et par suite, y = — p C

Puis :

Or:

doue :

x a = V— -Jl ± . K'J - y 8 . + ■£• .

y* 3= 2px ,

2px + p* „ • • ' "

et par suite :

^( JL T £ ~) M-

En portant dans l’équation y- = 2 px de la courbe , les valeurs de y et x, (rj et («), il vient :

d'où ; . . * ' < . ■>

et finalement :

Telle est l’équation de la développée de la parabole.

Remarque. — * Le cercle osculateur et le cercje de courbure d’une courbe étant' identiques , il en résulte que le layon du cercle osculateur en un point d’une courbe exprimée en coordonnées polaires a pour expression ( voir page 149 } :

dr* \ * ..v,

rfV

( DR QUELQUES QUADftATG*K*.