Aire du eerele

L'équation du cercle est y* + x'

L’aire du quart de cercle comprise entre le diamètre 0B et le point A , dont l'abscisse est R , a pour «pression :

J ydx.

Donc la surface totale i du cercle a pour valeur :

* =4 J y dx ( 1 ).

* R'; par suite :

y = l/R* — x 1 ; l'équation (1) devient donc :

i = 4 f y/R 1 — x* dx

x‘ dx.

11 s’agit donc de calculer

remarquons qu'ici : x devant être moindre que R, nous poserons x = R siny, d’où : dx == R cos T d* et par suite (int. n* 111, page 169) :

f |/R* — x 1 dx = R 1 J cos'y d?=: R 1 (g sitif cos? 4- |) +• C.

sin? = ^ , eos? — ^ l/K’ — f = arc sin

Mais :

donc enfin :

J y/R‘ — x* dx = | y/ R ’ — x * + arc »* n ^ ■+■ C.

Pour x — o, le second membre 5e réduit à C. Ici la constante C est nulle.

Pour x = JA, le second membre devient :

5 H* arc sin I » R»; ,

donc : • »' * J

, , . « ou i J \/ R* — x’dx = T R«.

In, l ‘t *. î . *!

Telle est l’expression connue de l’aire du cercle.