Aire de

■ ' A == J’ [/" 2p x dx =1/

ou bien : . " > ’ ' • -

parabole. *

(Cherchons l’aire OMP de la parabole comprise entre l’origine et une abscisse quelconque 0P = x.

En appelant A cette aire, on a :

Or , l’équation de la parabole

est :

y' — ipx,

par suite':

' ,x 1 JL‘ : '

pj î T ^ = ^V /î f’ .

A = Tj V 2 px x = ;• xy:

C’est-à-dire que l’aire de la parabole, comprise entre l’origine et l’ordonnée d’un point de la courbe-, est égale aux deux tiers Oa 1« surface du rectangle construit avec cette ordonnée et avec l'abscisse qui correspond à cette ordonnée.' . . • ' p .... j .

UE Aire df L’elUptt.

L’équation de l’ellipse étant : ....

(IV...... A = jf *efa = J ,5^

Il s'agit donc de déterminer : .

.«y+éVss «*4\

on en tire :

Par suite, en désignant par A l'aire comprise entre le demi-petit axe OB et le sommet A dont l'abscisse est a, on a :

' . / ; .fy/ ai —? d *, ■

remarquons qu’ici : x doit être moindre que a , nous poserons donc .

x — a sinf , • d'on : tx a cosf rfy.

par suite ( int. n° III, page 169) :

J y/ — r! = «' jcos‘f fa = a s sinf eos T + |) + C, or :

X * 1 ___________ jf» "

siny == - ;.cosf = - t/- «* — a*, y = arc sin -, donc, par spbstitution :

J'i/ o’ — *’ dx = ^ \/ a'- — x 1 -+- ~ arc sin ^ 4- C.

Pour x =.o, le second membre devient C ( sur la figpre , on voit que C=;o)-, pour x=n, le second membre devient arc sin 1 = -j, * , en sorte que :

On a donc, d'après ( 1 ), pour, la surface A du quart de l'ellipse :

La surface totale de l'ellipse est donc t ah.

Si a = b, on a la surface du cercle ou va 1 .

Remarque. — Si les axes sont obliques, dk = y sinê dx, 6 étant l'an* gle des axes, en sorte que si l'on suppose l'équation de l’ellipse rapportée à deux de ses diamètres conjugués, on trouvera pour faire totale de l’ellipse :

7 r a b', sin 8

a', b‘ étant deux demi-diamètres conjugués et 8 étant leur inclinaison , on a donc :

ab — ab’ siné,

c’est-à-dire que la surface du rectangle dos axes de l’ellipse, est équivalente à la surface du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués d’un même système.

, . , IV. Aire de l' hyperbole. .

(I) jcy = m 5 .

Cherchons l'aire MPM'P' de cette courbe, comprise entre l’asymptote ox et deux ordonnées MP.M'P' correspondantes aux abscisses arbitraires OP et OP' que nous désignerons par a et J.

L’aire A cherchée a pour expression :

De (IJ, on tire

-i-, en sorte que (2) devient :

or ;

donc :

f~ * = Loe * + c *

Telle est l’expression de l’aire cherchée.

Remarque. — Si m = l,OPr=o = lélside plus e est la base des logarithmes, on a : >>/'. .. ,

A = log b.

L’airé de l’hyperbole a donc alors pOui- expression le logarithme népérien de l’abscisse , de là vient le nom de logarithme t népéritnt ou Ayperboliquee. •

Supposons la court* 1 rapportée à ses axes, son équation est :

n’y* — i’x* sz — \/ .t* — a'*'.

Il s’agit de calculer :

— J ydx=—j y/ a-' — a'dx.

afin d'avoir l'aire AMP comprise entre le sommet A et une ordonnée quelconque MP. • ,

Il s'agit donc de calcaler j \/ x- — or éc.-.or , remarquons qu'ici x doit être plus grand que a, nous poserons donc donc :

x — n sécy, d’où ; dira tgy SéC® dj,

par suite : . 1 1 ' • ' ï •

j y/ x* — a 1 dx =. a'- J y/ séc ! ® — 1 tgy sécy dy = a 1 J tg‘y sécy dy —

T wàyrfr f (1 — COS*y) dy