VII. Aire de la courbe logarithmique
L’équation de cette courbe est y — m logjr, l’expression de son aire est donc :
= m Ç log'xdx,
on a trouvé précédemment :
I log xdx = x log a- — x = x log 4- C,
donc :
A = m [ x» log (-^— ) — lo B (~) ]■
Différentielle de l'aire d'une surface de révolution.
Soit une courbe AA' dont l’équation donnée. est y = f[x).
’ Cette courbe, en tournant autour de l’axe de x, engendre une surface de révolution.
Si l’on considère un arc infiniment petit nm de l’arc AA-' , la surface engendrée par tnn sera celle d’un tronc de cône (l’élément nm pouvant être considéré comme rectiligne), et l’on aura :
. /mm' 4 - nn'\ .
surf. mn = 2xmn ^ ^ }•
Or, à la limite de tnn , mn devient ds, les deux ordonnées mm' et nn' se confondent et surf, mn n’est autre chose que la différentielle de l’aire de la surface de révolution; en sorte que l’on .a finalement
, d. surf", de révolution ~‘ix y ds.
Cette expression de la différentielle d’une surface de révolution donne, pour l’expression s de oette surface :
Application. — Surface de l’ellipsoïde de révolution.
L’ellipse étant rapportée à ses axes, son équation est ;
ay 4 - = a*b‘.
A = J m log xdx
d'où :
b /— r dy b*i !
y — — v 8 — x i — rr
a ’ dx o*y*
Par suite ; eu posaul a‘ -*■ b* = oV :
ilt = rfjr 'p/ 1-i- = dx. \/ 1 -)- ^73 = — ^ . \/ u 1 ' ( u ; — c ! x 4 ) =
r dx 2 • r a*ÿ’ a?y v ' '
L’équatiôn :
— — y/ ai 1 — erx^.dx.
ay
2 = -2t. J’ y,ds.
donne ilonc pour.l’ex|)ression de la surface du demi-ellipsoïde de révolution :
Ou a trouvé cirdessus ( voir ïaircde l’ellipse ) :
' ' Ç (y/a 1 — x*) dx = • y/u* — ** -t- ^ arc sin j 4- C.
par suite
r/ , /a 1 . \ . x , /a 4 , a 1 .ex
J (Kjr — * ) •** = 2 r e» x + 2e* 3,0 S,n T + t '
Pour x — o, le second membre devient C, or la surface étant nulle pour x — o; C = o.
Pour x = a, lo même second membre devient, puisque C = o :
y - «' + ^ . arc sin « = S + arc s,n e.
En sorte que l'équation ( 1 ) donne pour la surface du demi-ellipsoïde de révolution :
2 — t. tr 4- - — — arc sin t.
La surface entière de l'ellipsoïde a donc pour expression :
i.TT.b 1 h — arc si n « (2).
Lorsque b = a, l'ellipsoïde devient la sphère.
Dans ce cas, l’équation (2) devient en remarquant que pour 6 == a, .. -arc sine .
e — o et que par suite lim — zz 1 :
surf, sphère = W a*.
Volume de l'ellipsoïde de révolution.
Si 1 on considère le volume engendré par la surface comprise entre
la courbe, l’axe de» x et deux ordonnées infiniment roisines; alors que cette surface tçurne autour de l’axe des x ; la limite du volume ainsi engendré a pour expression :
t. y 7 dx.
Donc : le volume Y du demi-ellipsoïde, engendré par la surface de l’ellipse tournant autour de l’axe AA' a pour expression :
Pour x — o, le second membre devient C ou o, car pour a: = o le volume est nul.
Pour x = a, ce mémo second membre devient :
Donc :
y 7 .dx = ~ ab l .
et par suite
V = g 7 t. ab 1 .
Si b = a, on a le demi-volume de la sphère
Expression d'up arc d’ellipse, dont les points extrêmes sont déterminés par Us angUs que les normales en ces points, font avec le grand axe.
Soit M un point de l'ellipse et soit l l'angle que fait avec le grand
axe, la normale en ce point.
La figure ci-contre ( laquelle rappelle un des. procédés employés pour la construction de l'ellipse ) nous donne en appelant $ l'angle BOm et x, y, les coordonnées du point M :
œ — a sin ç. y — b cos
Ces équations montrent que x et y sont fonctions de l'angle »
que nous prendrons pour variable
indépendante.
Ceci posé, on a :
de = \Z<tx'- -I- </j s = \/ a- cos 1 q.dq 1 -h b‘ sin 1
d’où :
di — — \Za‘ — (a‘ — b*) sin» $ d ? .
et en posant a 1 — 6’ = aV,
ds = — adç\/\ — e* sin- ? (i)
Mais on a trouvé ( pages 98 et 99) 1
tgf. tg ? =j (2)
doue :
b: ïg
Et par suite :
sin $ =
ros Z
\Zo s + 6 ! tg l l/l — e* sin* l ' La différentiation de l’équation (2) donne ;
dl . dp
tg p j-j + tg Z — — = o.
cos* < ' cos* «
ou bien :
d’où l’on lire :
dl
COS* ^ a dy
* côs*"7 Ü. tg } ' cos* %
. b sin* <f ,, v/ 1 — t* dl
1 dp — . - . . . dl — — - - — .
a cos* l t — c* sin 1 l
En portant dans l’équation (1) les valeurs de dp et de sin* p, il vient :
j \/l — c* dZ / . , cos* Z
1 — r e* sin* Z r __ 1 — e* sin Z
et après réduction :
di — a \i — e*) (1 — e* sin* <•) * . dl.
Développons le binémc du second mentbre, en négligeant les termes à partir du terme en e 4 inclusivement, nous aurons :
di — a (l — e* ) ^1 -t- L e « gin* Z ^ 1 — cos.‘2Z
dl.
puis en remarquant que sin* < ^
<U = a ( 1 — e* ) ^t t* — j e* cos. 2 1\ dl.
Et enfin, la multiplication effectuée du second membre dans laquelle on néglige les termes en e 4 donne
dt — a ^1 — ) dl — j «.e* cos. 2 Z. dZ.
— a ^ 1 — — ^ dl — 8°‘ ei ^ ^ s * n
Si donc, nous appelons Z’ et l" Jes angles que font avec le grand axe
les normales des poims extrêmes d'un arc dont la longueur est « ; nous aurons :
j' | « (l — dl — ^ a t‘ d sin 21 J.
Et par suite :
* = «(l— — **)— g«e*(Mn21"— tin 21). -
* = a (l— y ) ( l" — I ’ ) — ? a e* sin ( l" — F) eos ( l” + 1 ').
Telle est l'expression cherchée.
étude de la cycloVoe.
Soit Mx une droite sur laquelle roule sans glisser, une circonférence de rayon constant OM et soit M un point fixe de cette courbe. Le point M, dans le mouvement de la circonférence, engendre une courbe appelée cytloide dont nous allons étudier les propriétés. •
Lorsque la circonférence aura passé v en entier sur la droite Mx, le point M se retrouvera sur Mx; donc la cyclo'ide a une infinité de points communs avec Mx. L'équation de cette courbe ne peut donc être algébrique.
Si à partir de M : on divise la droite Mx aux points M', M", M'",
tels que MM' = M'M" := M" M", = tO.M; lorsque la circonférence
de rayon OM se trouvera en ces points, le point générateur de la courbe se trouvera sur la parallèle l'B à Mx. Ces positions particulières du point générateur, sont évidemmentcelles des points maximums de la courbe.
Cherchons l’équation de la cycloïdé ; à cet effet, prenons Mx pour axe des x et la perpendiculaire My pour axe des y.
Pour une position particulière de la circonférence, son centre étant en 0', le point M se trouvant en m. on a : MA = arc Am. Ceci posé,
a: et y étant les coordonnées du point m, et u étant l’angle mO'A, on a
sur la figure :
x = AM — AP = a.u — a sin u = a. [u — sin « ). , y = PQ 4- mQ = a — a ços u = a ( 1 — cos u ).
a représente le rayon du cercle.
L’élimination de u entre les équations :
x = a. ( u — sin u ).
y = a. ( 1 — cos u ).
donne :
u = arc cos —— sih u = ^ t/2ay — y 1 ,
et par suite : ... . <•
x — <f. arc cos — s/^y — y*.
Telle est l'équation de la cycloïde.
Au lieu de prendre cette équation, il egt plus simple de prendre pour représentation de l’équation de la cycloïde, I'çn semble des deux équations :
x = a(u — sin u ) (1)
y = a ( 1 — cosu)...'. (2)
dans lesquelles : l'indéterminée u, sera considérée comme variable indépendante ; en sorte que a: et y sont des fonctions explicites de cette variable. \
Tangente à la cycloïde.
La différentiation des équations (1) et (2) donne :
sin y
<ly . dx '
1 — cos u'
et en éliminant u ,
Pour y = o, =ao ; donc aux points de rencontre de la courbe avec l’axe des x, la courbe est perpendiculaire è l'axe des x.
Lorsque y = •>«, =o; un vérifie ainsi l'existence des points niaxi-
munis situas sur la parallèle l!B.
Remarque. — La relation :
dy si n n
• JE ~ 1 — cos u'
donne :
, a .in le. CO, 1 .
Ar
et par suite : .
dx
2 sin’ ^ u
, u dx
or ^ représente la tangente de l’angle C , que la tangente à ht courbe
fait avec l’axe des y: donc C ±= 1 1 ».
sans glisser sur une courbe fixe AB,
Sur. la figure, l’angle inscrit MBA = | u ; donc MB est la tangente à la' courbe en M et par suite MA en est la normale.
Donc, nous voyons que dans la cycloïde : la ligne qui joint le point A de contact dif cercle roulant au point générateur M est normale à la courbe engendrée.
Ce principe est général; c’està-dire que si une courbe CD roule in point M lié à la courbe CD en-
gendre une courbe et pour chaque position du point de contact N des courbes, la ligne MN est normale à la courbe engendrée par le point M.
En effet, les deux courbes peuvent être considérées comme des polygones à côtés égaux hnn'pq, Hnn’PQ ; les deux courbes étant tangentes, les deux polygones ont un élément coàimun un' ; la rotation du polygone Hnn'PQ se fait autour du point n comme centre et les éléments
n'P, PQ, viennent se confondre successivement avec les éléments
n'p, pq, Dans ce mouvement le point M qui engendre la courbe
décrit une série de petits arcs de cercle. dont les centres sont n' f p, q et les rayons correspondants n'M, pM, qM de ces. petits arcs de cercle sont normaux à ces arcs, c’est-à-dire à la couébe engendrée par le point M.
Expression de la normale.
La normale à la courbe étant MA, on a, sur la figure qui vient avant la précédente. :
MA .ou N = 2a siu g.
« It
On arriverait au même résultat au moyen de la formule comme :
dx*'
Rayon de courbure i
Ici x n’étant pas la variable indépendante, on a :
R zr
{dx i 4 - dy 1
dx.iPy — dy.d t x '
la différentiation des équations (i^ct (2) donne successivement :
dx = a( 1 — cos u ).du.
dy zz a. sin u.du.
<f*xzz a. sin u.du 1 .
d*y— a. cos u.du 1 .
et la substitution de ces valeurs dans (a) donne pour R :
R zz 4a. sin ^ zz 2N.
Donc : le rayon de courbure de la cycloidt est double de la normale.
Remarque. — Ce résultat conduit à la propriété suivante :
Si sur le prolongement du diamètre AB du cercle générateur, on décrit un cercle de centre 0’ et de diamètre AB' = AB; ci étant la position .du point générateur mA sera la normale et en prolongeant rnA jusqu’à sa rencontre en m avec le nouveau cercle, on aura mm' zz.2mA, donc mm’ est le rayon de courbure de la cycloïde au point m ; et m' est le centre de courbure. ...
Ceci posé, soit C le point le plus élevé de f a cycloïde, menons la perpendiculaire CC’ sur Mx et prolongeons -la de C"C' = CC' ; alors MC = MQ’ = arc BmA = arc Am'B' car les deut cercles sont égauï. De plus, arc Am = arc Am', donc les suppléments de ces. arcs, c’està-dire arc mB et arc m'B' sont égaux à AC' ou B'C*.
L’égalité arc B'm' zz B'C" montre que : le centre de courbure m', se trouve sur la cycloïde engendrée par un cercle de même rayon, glissant en sens inverse sur la même droite Mx et symétriquement placé audessous de cette droite. , •
La développée- de la cycloïde etl donc une cycloïde.
Aire de la cycloïde.
L’aire A, de la courbe MAB, produite par une révolution entière du
cercle roulant est donnée pm' l'équation :
et en remplaçant y et iLx par leur» valeurs, on a :
(1) A = j a’ [1 — cos ufdu=j}iP sin* | u.d g.
Or :
J 8mt l d i = - J*" 3 £- rfco 4
et d’après le pri ncipe, d'in té;; ration par parties :
fm' 2 “ s : =— s,n a- ^ 5+ 3 J sin *’
i = — sll > 2 008 2 + 3 / 8in 2' “ g • f sm 2’ d 2'
d’où l'on tire :
( 2 ) - •• . J S,m‘ g. rf 2 — - 4 s*" 2 t '' os 2 + 5 J *»> g- g-' ’
■ • ‘ * de même : -
J s,n 2 rf â rf cos 5 =-s.n s cos a + J cos* g g “
J «Wj+.j d 5 ^Js.n?g.«<|.
d'où :
s,n 2 rf 2 =; 2 s,n 2 COS 2 + î-
L'équation (2) devient donc par substitution : l . . 14 « 3 . «
sin 2 d 2 = 4 S ' n 2 cos 2 “ 8 S ‘ n i C0S 2 + Ï6 “ + C '
Pour h =0 le second membre est nul, car l’aire étant nulle pour u .= 0 , la constante est nulle aussi.
Pour u = 2 t le second membre devient jj Par suite ; •
L’équation (1) donne donc pour l'aire de la cycloïde :
c’est-à-dire que : l’aire de la cycloïde est égale, au triple de celle du cercle sur lequel se tro.uve le point générateur. 1
On arrive plus simplement à ce résultat, par les considérations suivantes :
prenons, à partir de l’origine, une longueur OA égale au diamètre 2a du cercle générateur , et menons en A la perpendiculaire AL' à l’axe des y.
■ Soit P le point du cercle engendrait la cycloïde et supposons que ce cercle tourne sur la parallèle' UU\ ■
Lorsque le point- 0 sera venu en M, sort abscisse sera OA = 2a et son ordonnée *er;i MA = ir a.
L’aire totale M OM sera donc
durinée par l’expression : •
J ydx = xy -i- Jj-Hy T.. (*),
mais on a trouvé précédemment
d’où
dy *= às.
L’équation (1) devient donc :
J ydx = xy — J x |/ X dx, — xy — j' \J b<tx — x s dx, = xy — J 1/ a 1 — (a —
as)’ dx.
Le cercle de diamètre OA a pour équation : ...
par suite :
J V «’ — (" — x) 1 dx — ^ aire du cercle de rayon OC zz: 1 -r a*.
Pour x — 2a, yt= t a. L’équation :
J ydt = xy — J y a* — [a — x)' dx ,
donne zéro pour x — o, et pour x~a , son second membre devient 2 t* j — j tô*, donc : *
J ydx ou A =r 4 na‘ — ta' = 3
Longueur de la cycloïde.
( Noue revenons à la première figure tur la génération de la cycloïde. ) Proposons-nous de calculer la longueur de ”arc AM B compris entre x — o et * = 2 t, on a :
. dtéxy/ dx* + dy‘ =2a sin | du — iasin ^ d g.
au * j'za
(•) On a trouvé précédemment — = y/ 1, niais si l'on remarque
dy / 2 à
dx
que sur la figure actuelle, Ja manière do faire rouler le cercle est changée , on a pour ce
du /'la
changement — y — - — 1.
dx a*
La longueur * de I arc AMB sera donc donnée par l’équation :
(J).,..... * = 4a J sin j d | = ha jf d ( cos -|-) = 8 «■
On prend ici pour t le signe 4- , car l’arc de la courbe et l’angle au centre u varient dans le même sens.
L équation (i) montre que l’arc de eycloïde, comprit enlre deux point! consécutifs de cette courbe, situés sur l’axedc rotation, est égal d huit fois le rayon du cercle roulant.
Surface de révolution engendrée par la eycloïde.
L’arc AMB de la eycloïde , en tournant autour de l’axe de rotation , engendre une surface de révolution , dont l’expression est donnée par l’équatiqn : .
(*)•: 2 — f yds = 2t 4 a‘ (1 — ’cosn) sin 4- d ~ —
= 16to«/ si n'yd-f.
Mais :
J si " s l d l r= j si0 ‘ i ,lB ï ' d l = ■ - /(* -™*l) d cos l -
. - — fd cos|+ Jcos*J’dcos| = " • •
= — Côs g + J cos 2 c *.
Pour u = o, le second membre devient — ^ 4 - C.
Pour u — 2-r, ce second membre devient — =1 C, donc :
L’équation (1) donne donc pour la surface engendrée par la cycloîde : • ' •„ " ■
Volume de révolution engendré pnr la eycloïdc.
L' expression V du volume de révolutiou engendré par faire comprise entre l’arc AMB et l’axe de rotation est donnée par l’équation :
V = r J y s dr zz t a s / (1 — coe v) J du —
~ 16 t a 3 J sin 6 ^ d -*J-
En suivant la marche indiquée ci-dessus pour déterminer l’intégrale
de i sin 4 s d !(, cm trouée :’ • '
et par suite t
• B U J tt 5
DE LA CHAINETTE.
- Equation de la chaînette.
L’étude des propriétés du polygone funiculaire conduit & ce théorème :
!a rapport de la longueur d'un are de la chainetté, au coefficient angulaire de la tangente et t constant.
Nous prendrons cette propriété pour définition de la chaînette.
Donc, si a est le rapport Constant qui existe entre la longueur de l’arc de la chaînette et le coefficient angulaire de la tangente , nous aurons :
et en appelant p la fonction ^ :
La différentiation de cette équation donne en nous rappelant que
de = dx. \/ 1 4- = dx. \/l -t - p’ :
dx.\/l + p^ — a.dp.
d’où l’on lire :
•tftf *.
' dp 1 1
V/f+p 3 ~a dX ' 4
mais on a trouvé ( intég. n” III, page 1T7 ),
' /-r=b=îk« (ï+i/ÇTTv
donc, en intégrant l'équation (u), il rient :
(!)•• ' log (p + Vl+p) -
a étant une constante arbitraire, l' équation (1) donne : .
L’équation (If donne en mnltipliant liant et bas entre parenthèses par p — l/ 1 + p 1
loe ( p N /n-p>) = r 1 ' -
et puisque k»g ) = V- log ^ , il vient :
d'où :
et par suite :
Les équations (m) et [n) donnent par addition :
• x — bl x — «
c’est-à-dire; puisque p = X : ' ■ ' * ' ’
ANALYSE
et en intégrant, il vient :
JC— ol fit
»- fi = *[ e ' -*-• )’
l étant une constante arbitraire.
Telle est l’équation de la chaînette.
Si l’on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes au point dont les coordonnées sont a et C,.on a l’équation plus simple :
L'équation :
Construction de la courbe.
