BANS LESQUELLES ON EST CONDUIT A DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

]. Trouver une tourbe telle que la normale pane par un meme point fixe.

puisque celte droite doit toujours doit loujours être satisfaite pour x -

Soif P le point fixe par lequel doivent passer toutes les normales de la courbe cherchée. Nous prendrons ce point pour origine des coordonnées, supposées rectangulaires. •

Soient x', y' les coordonnées d’un point de la courbe; l’équation de la normale en ce point est ;

* i dx , , »

tasser par l'origine, son équation o, y =. o ; on a donc :

d’où :

i/.dy' -t- x' .dx' = o.

Telle est l’équation’ différentielle de la courbe cherchée.

Cette équation donne, en riniltipliant par 3 ses deux membres :

d’où :

2 y'.dtf 4 - 2 e .'. dx' — o.

rfy'S- 4 - dx' 1 =■ o.

et en intégrant : r * • . ' . ' -

• y’* + xT' — ü.. • - '

Telle est l'équation du lieu cherché. ■ *

La courbe cherchée est donc un cercle de rayon iadétermipé et dont le centre est le point fixe P. ',

II. Trouver une courbe dans laquelle la normale soit constante.

Supposons les axes rectangulaires et soient x, y les coordonnées d’un point quelconque de la courbe cherchée.

Soit m la longueur de la normale en ce point, on a trouvé pour l'expression de cette longueur ( page 199 ) :

d'où :

et par suite :

dx , ‘

\/ m* — y 5 dx — y dy.

Telle est l’équation différentielle de la courbe cherchée.

Afin de l'intégrer, remarquons qu'ici y, doit être moindre que m; nous poserons donc y — m sin f. d’où dy = m cos y <(?> en sorte que l'équation précédente devient : >

m cos f dx == ta. .sin y. cos y dy.

' dx = — m. d cos y.

d'où en intégrant :

. x — (1 zx — m. cos y. •

L'équation y = m sin donne

par suite :

et enfin, élevant au carré :

La courbe cherchée est donc un cercle ayant pour rayon la longueur donnée et dont le centre se trouve sur l’axe des x.

Remarque. — La division des deux membres de l'équation t/ ni’ — y 1 rfx — t/rfy par \/ m* — y* rovient 'à supprimer le facteur commun y/m* — y 2 , il faut donc, dans la question, tenir Compte de la solution \/m 2 — i/'* = o, d’où .

Nous trouvons ainsi que les deux droites parallèles à l'axe des x, et menées au-dessus et au-dessous de cet axe, à une distance égale à m, répondent aussi à la question; ce qui est évident. >