III. Trouver une fonction qui soit à elle-même sa dérivée
Soit f[x) la fonction cherchée, sa dérivée est ; on doit donc
avoir :
d'où :
dx.
ou bien : -
d. Iog f ( x ) = dx.
et en intégraut :
log f(x) = x + C.
par suite :
La fonction cherchée est donc yne exponentielle .
IV. Trouver une courbe dans laquelle la sous -normale et la sous lange nie d'un point soient toujours dans le rapport de la puissance «*•*“• de l'ordonnée d la puissance n lim ‘ de l'abscisse.
SN et ST étant la sous-normale et la sous-tangente d'un même point , on doit avoir :
• sN r .
ST x" ‘
or ( pages 191 et 192 ) ; . t
SN = Sp, &T=yp.
ai dy
par suite :
Telle est l'équation différentielle du lieu cherché. Afin de l'intégrer écrivons-la ainsi :
rfy* dx^
d'où •
rfy • v dr
donc enfin : •
Telle est l’équation générale de toutes les courbes qui répondent à la question.
Remarque. — Si m — n.= 2, l'équation de condition devient : rfy’^yl • •
dx* x r
d'où :
m (Ce x'
xdy ^ ydx — o.
et par suite les deux équations :
xdy 4- ydx = o.
xdy — ydx = o.
La première donne :
il ( xy ) = o.
d'où :
ry=,C.
("est là l'équation de toutes les hyperboles ayant pour asymptotes les axes coordonnée.
La seconde équation
xdy >— ydx = o
peut s'écrire ainsi :
xdy — ydx
as* ' .
d’où :
et par suite :
C’est là l'équation générale de toutes les droites passant par l'origine des coordonnées.
La propriété se vérifie aisément, pour ces droites, comme pour les hyperboles trouvées ci-dessus.
• V. Trouver une courbe telle que la sous-normale y toit confiante.
Soit p la longueur constante de la sous-normale; l'expression de celle
ligne étant y ^ ( page 192 ), on doit avoir : •
ydy
Telle est l'équation différentielle de la courbe cherchée. On en tire :
lydx = ipdx.
y- = 'lpx
Telle est l'équation des courbes cherchées. Ces courbes sont des paraboles ayant pour axe , l’axe des x.
VI. Trouver une courbe telle que la tow-tangente y toit double de l'abtcim.
La sous-tangente en un point x, y, d’une courbe, ayant pour exprèsdjc %
sion y ^ ( page 191 ), on doit avoir :
. dx O y — = SLr.
dy
Telle est l’équation différentielle des courbes cherchées.
On en tire successivement :
JL— —
dy dx'
.... . - ! Ay i dx •
d log y = g d log *.
et en intégrant :
, . log y = i log X + Ç.
On peut mettre la constante sous la forme | log C, en sorte que l'on a :
• - ' log ÿ = | log Car. •
d’où : ' .•••
2 log y = log (>.
log y 5 = log O.
et enfin : '
y* == Car,
Les courbes cherchées sont donc des paraboles ayant toutes pour sommet l’origine, et pour axe l’axe des a:. . . ,
VIL Trouver une courbe telle que le segment de surface compté à partir de l’origine et comprit entre la courbe, Taxe det x et une ordonnée, toit égalait logarithme de l'abscisse.
Soit A l'expression de l'aire du segment terminé à l’abscisse x, on
ANALYSE. 13
doit avoir: . ,
A = log x.
or :
A = J* y. dx.
J' y dx = log x.
et en différenliaut cette équation :
d’où
d'où :
. dx yix 3cr — . .
. ty = 1 .
La courbe cherchée est donc une hyperbole équilatère ayant pour asymptotes les axes coordonné».
VIII. Trouver une courbe telle que la tout-normale toit proportionnelle
à l’abtcitte.
SN étant la sous-normale en un point x, y de la courbe :
SN
-»• <7 . dx
Si donc, m est le rapport constant de la sous-normale à l'abscisse; on aura : • "
SN
rae m.
et par suite : •
x.dx
Telle est l’équation différentielle de la courbe cherchée. Ün en tire successivement :•
et en intégrant :
i/ydy = m.2 xdx.
dy? — d ( mx* ).
ÿ»=r«Ur»4-C.
Telle est l’équation des courbes cherchées. « • . • S • Suivant que m est négatif ou positif, ces courbes sont des ellipses ou des hyperboles.
IX. Trouver unr courbe tell*, que la portion rie tangente comprùe entre deux droites fixe* données, soit toujours divisée en deux parties égales par le point de contact. •
est :
Soient yy et xx‘ les deux droites données; prenons-les pour axes coordonnés.
Soit TT' la tangente en un point M dont les coordonnées sont x', y'.
D’après l’énoncé, le point M est le milieu de TT.
■L’équation de la tangente TT'
, dÿ 1 . ,,
son abscisse , à l’origine A T , s’obtient en faisant y — o , dans cette équation, on a donc :
AT'-l’:
y' dx'
Or, sur la figure, le point M étant le milieu de TT, il et* résulte que A T’ = 2x'.
L’équation (1) devient donc :
' dx'
du ’
d on :
J x'dy 4- y dx' 3=0.
Les courbes cherchées sont donc des hyperboles ayant pour asymptotes les deux droites données. •
Ce problème, montre que : dans une hyperbole le point de contact d’une tangente, terminée aux deux asymptotes, est le milieu de cette ligne.
X. Trouner une courbe dans laquelle le rayon de courbure soit constant.
.Soit R, le rayon de courbure constant de la courbe cherchée ; l'expression de ce rayon de courbure au point x, y est :
dxV
d’où
• ÿt
dx*
Telle est l'équation différentielle de la courbe cherchée. Afin désintégrer, posons :
dy
remarquons que :
par suite :
«te* —
i ir
d’y d tfiy dy 1 dx’ dx dx eos 1 ?
L'équation différentielle devient donc par substitution :
(1-Mfi‘T)
dj
i i / sin 1 ? -t- cos’y
dx COS -1 y
COS 1 ? / C06*y
1 ' dy 1
dx cos 1 ?
dix co s 1 ?
dx
d’où :
d.t = [l cosy’d? = A d sin?,
et en intégrant, il vient, a. étant une constante arbitraire x — a — R sin?. < . . . (i).
Reprenons l'équation :
llx cos?
remplaçons-y, dx par sa valeur R cos? dy, nous aurons :
dy sin?
H cos? dy cos? ’
d’où :
dy z z II siny dy = — R d cos»,
et en intégrant il vient, C étant une constante arbitraire :
y — C — — R cos?. . . . . . . (2).
L’addition membre é membre des équations (1) et (2) élevées au carré donne : \ ■ /
Telle est l'équation du lieu cherché.
Ce lieu estant cercle de rayon R et dontle centre. est indéterminé.
XL Trouver une courbe telle. que, en un point quelconque, la somme de la sous-tangente et de la sous-normale soit constçnte et égale d une longueur donnée 2c.
On doit avoir :
or :
SN + ST ~ 2c,
