J MO* ;|J

Hais on a trouvé (intég. n* VIH, page 171}.

-.Æ = ,oe, ei-

fl/ c* — y" i . Ÿ

• .. = g 'oe te i--*-*'

La trigonométrie donne tg X = ■

sin -jr

2 sin?

cos 2 eos* 1

1 + coa* ’

L'équation y = <• siihv don le sin» = X, co^ ? ~ -1- l/c 1 — y’ et par

substitution :

/ = r los ( — /— l) + v^? =

= c log ( * , -) + V e’— y 2 .

L'équation (1) devient donc par substitution , en remarquant que log

x = c log y ± s/r' — y- + « log (y + Vy, — 1 ) + C', ’

Telle est l'équation de la courbe cherchée. . • ' < • . i,

La séparation des signes donne les équations :

x = c log ( c 4- V e * — V? ) — V 7 c ’ — !/’ +

Telles sont les équations des deux genres de courbes, qui répondent à la question'.

XII . Trouver une courbe dans laquelle Ut normale soit proportionnelle à la racine carrée de C ordonnée.

N étant la longueur de la normale en un point x,y. d’une courbe,

on a :

dx*'

En sorte que si |/2m est le rapport Constant, qui existe entre la normale et la racine carrée de l’ordonnée , il vient :

tt: i i ■

d’où l’on tire successivement :

dy . / 2m — ;/ <te y

(te = ^

dy.

Telle est l'équation différentielle de la courbe cherchée.

, Afin de l’intégrer , remarquons que y devant être moindre que 2 m , nous pourrons poser :

y= m { 1 — - cos Ÿ ). . . . d. '{a), 1 ’

par suite, en différentiant :

dy — m sin? dy.

L'équation (1) devient donc par substitution : ,

. . / m ( 1 — cos® ) . ,

V / - am - m (l COSf) •

d’où Ton tire successivement :

— COSf

COStp

■ sin? dy.

' \ I 2sin ’i '

S cos* |

sin? dy,

sin £

dx — m — r-?-.2 sin ^ oos s i /?,

cos^

dx = 4 m sin ! | d

et en intégrant :

x = km J sin 2 -i- d

or :

f sin *T d TT“ 2 8in T COS 2' + ii' {intée ' 1,1 P a e° 169 ) ;

En portant cette valeur dans (3), il vient •

jc = — 2m sin cOs -g +• m?, x — — m sin? + rny -f- C. . .

il suffit maintenant , de remplacer dans cette équation , y par sa valeur en fonction de y. ' * , .

L’équation (2) donne :

COSf - —JL

ANALYSE

d’où : •

9 = arc cob 2 — ,

sin T = j/l — 1/ 2my — y*.

Prenant pour siny, la valeur négative du radical; il vient par substitution dans (u) :

x = m arc cos 1- \/ 2my — y 1 .

Telle est l'équation de la courbe cherchée.

Cette courbe est donc une cycloïde dont le point générateur est situé sur un cercle de rayon m. .

XIII. Trouver une courbe telle, que la tangente en un point, fane avec le rayon vecteur de ce point un angle constant.

V étant l’angle que la tangente à une courbe exprimée en coordonnées polaires, fait avec le rayon vecteur du point de contact dont les coordonnées sont r et ô; on a :

tgV =

r dû dr

Si donc C est la tangente de l’angle opnstant, on a ;

r dû dr

Telle est l’équation différentielle de la courbe cherchée. Cette équation donne successivement :

dr dd ,

d\ogr = d —

et en intégrant ;

, log r = — c

ou bien ;

et en appelant m le rapport — :

Telle est l’équation de la courbe cherchée.

Cette courbe est la spirale logarithmique.

XTV. Soient Vx Voie polaire et P le pôle, trouver une courbe BB’ telle que :

en menant la tangente AK, en un quelconque de te* point*, que l’on termine à la perpendiculaire PK élevée au pôle sur le rayon vecteur du point de contact, on ait :

tj'i .

surf. PAK

surf. PAM

C étant une constante.

Sur la figure, on a :

surf. APK = ÏPK AP =

=tir*tgPAK,

donc

or :

tg PAK = surf. APK = i r»

on sait, eft outre, que :

aire MAP J*r ! dè.

L’équation de condition (1), devient donc par substitution

<tt

d’où :

et en différcntiant :

ds di

dr 1

= C r 3 dô.

et par suite en divisant par rfô et réduisant :

iPr dr-

r W +( c “ 3 )l7Hr = o-

Telle est l’équation différentielle de la courbe cherchée. Pour l’intégrer posons :

di ~ P ’

d’où :

iPr dp

L’équation (2) devient alors par substitution : dp

ou ce qui est la même chose, puisque p*= p.p = p

r 'di + {C ~ 3) p llf ~ °‘

Cette équation donne successivement :

. ,r dp ■+■ (C — 3) pdr = o.

et en intégrant :

log p = log r d'où, A étant une constante arbitraire :

dr ,

La substitution de - à la place de p donne dans cette équation :

dr . 3-

1 ' dr

-r- r dr — dt, \ *

d’où, en intégrant, il vient, a étant une constante arbitraire :

ot si l’on appelle B le produit A (C — 2), on a finalement :

Telle est l'équation du lieu cherché.

Cas particuliers. — 1° C = ® .

L’équation que nous venons de trouver :

peut s’écrire ainsi :

ou plus simplement en appelant b l’expression B r = b . («—*)'

Pour C = x , = o, et par suite : , . .

r — h =z constante.

r = constante ô, représente un cercle de rayon b ayant le pôle pour centre; on vérifie aisément sur cette courbe l’hypothèse. C r- ao , introduite dans l’énoncé de la question.

2° C — 2. — Reprenons l’équation obtenue plus haut ■:

, »* le

rdp -h {c — 3) pdr — o. ' pour C = 2, elle devient : ’

d'où :

et en intégrant :

rdp — pdr,

ÉL — dr

log p = log r,

par suite , m étant une constante :

p=mr.

or :

donc :

log r = m9,

et enfin , A étant une nouvelle constante :

mfl

Cette équation est celle de la spirale logarithmique.

On vérifie aisément sur cette courbe, l'hypothèse C = 2 , introduite dans l'énoncé de la question.

3” C = 3. L'équation générale du lieu :

devient pour 9 = 3:

Celte équation est celle de la spirale d" Archimède.

4* C = 1. L’équation générale du lieu :

devient pour C ;= 1 :

r (ô — «) = -g. = constante.

Cette équation est celle de la ipirale hyperbolique.

XV. Trouver une courbe, dam laquelle : le rayon de courbure toit proportionnel à la normale.

Soient R et N le rayon de courbure et la normale en un point x, y de la courbe cherchée, alors :

Par suite , si m est le rapport constant qui existe entre le rayon de courbure et la normale, on a :

dû?

Telle est l’équation différentielle de la courbe cherchée. '

Avant de l’intégrer, nous remarquerons que les valeurs de R et de N, étant ici prises en valeurs absolues , cela indique que le rayon de courbure et la normale en un même point sont directement opposés, m étant supposé positif.

Arrivons à l’intégration et supprimons d’abord le facteur

(l + ) commun aux deux membres de Y équation ( 1 ), nous au-

rons en chassant le dénominateur

dsr*

1 + -ij. - my .

d'y dx' '

im-

posons :

d’où :

el par suite :

d’y dp du dp

. TE* -*■ ix ' dx ' dy

d*y p dp dx 1 dy

L'équation (2) devient donc par substitution

pdy

1 + p* = my

dy ’

d’où :

ou bien :

dy m 2p dp

* dy m d (1 -+- p’)

d’où en intégrant , C étant une constante :

logCy =-|- log(l -+-p î ), .

Par suite :

Cy = (!■+ P 1 ) .

et on remplaçant p par sa valeur -^y, et extrayant la racine -^-départ

et d'autre : . • * *■

y dx' '

d’où :

dx = ■

JL il.

et en intégrant, il vient, a étant une constante arbitraire :

t dy ’

Telle est l’expression qu’il s’agirait d’intégrer, m étant quelconque.

Kl AM MM M QCBLqi'B* VAt.KlRS PAETlClillÈRKS ATTKI BL’KSS A «),

Cat où m = 1 . Pour m = 1, l’équation (A) devient :

* J v'cy — i

d'nè .

dC,*j

mais on sait que

J \/uCZÎ ~ lo f! \ u + l), donc :

1 “ « = i log (Cy + l/(ÿ— i)

Cette équation donne en multipliant , haut et bas entre parenthèses , parCy — l/Cy — 1 :

et puisqne leg =± — leg il vient :

* — »=. — £ (Cy - y/ C f y*- 1).

ou bien :

— (x — a) c= - log (Cy — v/C*V— D-

Les équations (1) et (2) donnent, après y avoir chassé le dénominateur C : ...

e(*“«> =Cyt i/ C yrrî *

• " ' Cy-l/(?^=T. •

d'où en ajoutant et divisant par 2C de part et d’autre, il vient finalement : ,

ANALYSE. ' 46

Telle est l’équation du lieu, pour le cas où m = 1.

Pour plus de simplicité si l’on transporte l’axe des y parallèlement à lui-inémc au point dont l’abscisse est a, l’équation du lieu devient :

Gr — Gr

Cette équation est celle d’une chaînette dont l’axe est l’axe des y. Donc : dans la chaînette le rayon de courbure et la normale en un même point sont igaux et directement opposés « jiartir du point de contact.

On vérifie aisément cette propriété.

Cas où m = 1 . Pour m = — 1, l'équation (A) devient :

d’où, par transformations successives :

et si l’on remarque que Cy devant être moindre que 1, on peut poser Cy = sin <? ; on trouve :

Puis en élevant au carré :

[x — a) s +Cy s =~.

Telle est dans le cas de m — 1, l’équation du lieu.

Cette équation est celle d’uu cercle dont le ventre est sur l’axe des x.

Donc : dans un cercle dont le centre est situé sur l'axe des x, la normale est égale au rayon de courbure et ces deux lignes sont dirigées dans le mime sens, ce qui est évident.

Cas où m = 2. Alors que m — 2, l’équation (A) devient :

d’où, par des transformations successives :

1 r dCy

1 rd (Cy-i )

■* - « = -J-- y* (Cy — lf *rf(.Cy— 1)>‘ x — a = -g- (Cy— 1)~ ^ 4- 1.

(Cy — • i) T . .

et en élevant au carré il vient fina : ement :

C*(x — «)* = 4Cy — 4.

Telle est l'équation du lieu dans le cas où m — 2.

Cette équation est celle d'une parabole dont l’axe est perpendiculaire a l’axe des x.

Donc : dans une parabole , dont l'axe est perpendiculaire à l’tixc des r, le rayon de courl/ure est double de la normale et ces deux lignes sont dirigées en sens contraires, à partir du point de contact.

Cas où m xx- — 2. Si m = — 2, l'équation (A) devient :

d’où par des transformations successives : en posant pour plus de sint-

plicité C =

. r^JUL.

Ici y doit être moindre quo 26, nous posorons :

y rr 26 «in 5 g:

d'où :

dy — 4 b sin * cos ? dy.

et par substitution :

*-« = f = 46. Ain» T . d t .

J l/26 cos f J

niais on a trouvé ( intég. n” II, page KS9 ) :

f »in ! ydy ;= — | siu y cos y +

donc :

x — a = — 26 sln y cas y + 26 y a

l'équation y — 26 sin : f donne :

s,n » = y Tv 009 V = y 1 *“ 2î = V®=ï-

y zr arc cos ’ *

L'équation (a) devient donc par substitution, en prenant le signe — do radical

x — a= l/2Ay — y* +26 arc cos

Telle est l'équation du lieu, dans le cas où m = — 2.

Et si pour plus de simplicité, on transporte l’axe des y parallèlement à lui-même, au point dont l’abscisse est a ; cette équation devient :

x = \/iby — y’ + 26 arc cos Cette équation est celle 1 d'une cycloïde.

Donc : dan* la ajcloidt le rayon de courbure e*t double de In normale et ru deux ligne * te comptent dam le même tent, à partir du point de contact.

XVI. Trouver une courbe, dan» laquelle : la longueur de la tangente en un point quelconque, comprise entre le point de contact il l’axe dre x, toit constante et égale à une ligne donnée m. \

Soient yO^Oj les axes coordonnés, supposés rectangulaires.'

Sur l’axe des y, à partir de l'origine prenons urte longueur OA — m , alors A est un point de la courbe et cette courbe part de A langeoticlleraent à l’axe des y.

T étant la longueur de la tangente en un point x, y de la courbe on a : ;

T =»/*+ ' L’équation différentielle de la courbe cherchée est donc :

de cette équation on tire :

dx , /m‘ , y/ m* — y 2

Par un point pris hors d’une droite, on peut mener à celte droite

deux lignes d’une mémo longueur; nous conviendrons : du côté

des j positifs, de prendre de cos deux lignes, celle dont l’inclinaison

sur l’axe des x est plus grande que 90". Nous prendrons donc

dx . ,

-j— avec je signe — .

Pout- intégrer cette équation, on remarquera qu’ici y doit être moindre que m ; on posera alors y — m sin y, et l’on trouvera comme dans le problème XI qui précède : >

x = —\/ m 1 — ;/ s + m log (y + f/— — 1 ) + C.

Telle est l'équation de la courbe cherchée.

Cette courbe présente des particularités curieuses. Nous allons les étudier.

Je remarque d’abord que la constante C est nulle. En effet, pour y = m, on doit avoir le point A, c’est-à-dire que pour y = m, x = o.

Pour y = m le second membre de l'intégration se réduit à C ; donc C = o.

La véritable équation du lieu est donc :

x = — l/m* — y* +m. log (y + j/pr — l).

«=- y/srz? + m . log { ^+\^ F = X y

Forme de la courbe. — La courbe est évidemment symétrique par rapport à l’axe des y

La plus grande valeur de y est m, et à mesure que l’ordonnée y diminue de «n jusqu’à zéro, l'abscisse c augmente Constamment et a pour limite l’infini.

Donc la courbe part de A tangentiellement à Taxe des y et s'approche indéfiniment de Taxe des x qu'elle rencontre à l’infini.