I.’axe des x est donc asymptote de la courbe

Pour avoir la tangente en un poipt quelconque de la courbe, il suffira de décrire de ce point avoc m pour rayon un cercle . 1 Le point de rencontre de ce cercle avec Taxe des x, joint au poïnl de la courbe, donnera la tangente.

la courbe a donc la forme indiquée, sur la figure.

Aire de la courbe. — L’aire A de la courbe comprise entre l'origine et l’abscisse x a pour expression :

or l'équation différentielle

; . . dx l/ m* y 1

donne :

A devient donc en y remplaçant dx par cette valeur :

A = f — l/ m* — tf rfy.

Cherchons l’aire J comprise entre l’axe des y, l’axe des x et la

branche infinie AU; à cet effet, puisque sous le signe J* se trouve

une fonction de y, remplaçons les limites 0 etao de x, par les limites correspondantes de y, lesquelles sont m et 0 ; en sorte que nous aurons pour l'expression de l’aire totale :

A — /-V mi — y’ rfy • 1 ' j ' '

quand on renverse les limites de l’intégrale définie on sait que l’on change le signe de celte intégrale, donc :

A = -J . y/m 1 — y'- rfy.

(lotte intégrale définie est celle d'un cercle, on sait en effet que

J l/R 1 — x 1 dx représente l’aire du quart de cercle dont l'équation

est x 1 + y 1 = R 1 ; donc l'aire totale A, est celle du quart de cercle dont l’équation est x 1 -+- </ = m*; c’est-à-dire que l’aire totale A, est équivalente à celle du quart de cercle OAB décrit de l’origine comme centre avec OA ou m comme rayon.

Remarque sur l’expression de l’abscisse à l’origine de lu tangente à la court*.

Soit M un point de la courbe dont l’ordonnée y est MP; menons la tangente MT en ce point, alors MT = m ( c'est la définition de la courbe ).>■■» - •

L’abscisse à l'origine de la tangente MT est OT ot sur la figure (ma;

,0T = OP + TP • OT zz ,x + y/m* — y*.

or, l’équatioH de la courbe !

* = — l/m‘ — y* + m log — y,

donne :

. * + v *»— jr* = m log ( ÿ— - — ;

La valeur de OT devient donc par substitution :

or- m iog ( *+ V 7 ” 1 !— .a: ).'- • - • .

Calcul du rayon de courbure en un point dt la courbe.

L’expression du rayon de courbure en ut point x, y d’une courbe est :

R ss

(Pte

dlr‘

xétant la vagable indépendante. Puisqu’ici, réquation est résolue par rapport à x, y est pris pour variable indépendante , en sorte que l’expression du rayon R est :

L'équation différentielle :

dx / m-

~dÿ ~ V */*“" *

donne «ncressivement

tPx

dx> m 5

+ dy'- ~ y"

m 8 dy

2 y/'ü? | ■*/»' t ■ t' V rf.-»’

en portant ces valeurs dans K, il vient « ipj, .■ iv. -i ... , .

y* \/ nr — y- y‘ \/ m 1 — y 5

d’où : ' • •

H zz m s/ m * ~ y*

Telle est l’expression du rayon de courbure. . . • i

Au point K, y — m, par suite R = a; le point A est donc un point de la développée de la courbe proposée.

Conttruclion géométrique du rnyon et du centre de courbure.

Soit M un point de la courbe dont la tangente est MT, alors MT zz tn. Je mène la perpendiculaire MC sur MT, alors MC est la normale et si tfù point T, sur l’axe desÆ-, j’élève la perpendiculaire TC laquelle rencon 7 tre la normale MC en C; je dis que le point G est le centre de courbure du point M de la courbe. ’ .

Il suffit, pour établir ce fait, de démontrer l'égalité , ..... , ir . y