NOTIONS DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS

DÉTKIIJIlKAflON d’d» point dans l’espace.

positives, les distances comptées

Un point A de l’espace est entièrement déterminé lorsqu'on connaît sa projection a sur un ' plan, et l'élévation Ao de ce point au-dessus de ce plan, ainsi que le seu&suivant lequel on doit porter cette élévation.

La projection a du point A , est déterminée par ses coordonnées prises par rapport à deux axes OX et OY ( supposés rectangulaires pour plus rie simplicité) tracés dans le plan.

Construisons un troisième axe OZ, perpendiculaire au plan des deux axes OX et. OY et passant par l’origine 0 ; alors si nous convenons : de considérer comme suivant l’axe OZ lorsqu’elles seront au-dessus dn plan XOY; et commè négatives, les distances situées au-dessous de ce plan; nous introduisons [tour la détermination du point A de l'espace trois coordonnées, lesquelles sont nécessaires et suffisantes.

Les trois plans qui passent par les trois axes coordonnés OX, OY, OZ sont perpendiculaires entre eux. On les nomme plans coordonnés. Ces trois plans déterminent huit angles trièdres. Les

signes ries trois coordonnées x, y, s d’un point, feront connaître celui des huit angles trièdres dans lequel est situé ce point.

Ainsi le point M dont les coordonnées sont :

se trouve dans le triédre ZOX'Y'.

Remarque. — Un point de l’espace

est situé à l’extrémité de la diagonale du parallélipipèdc construit sur les trois coordonnées.

Remarque. — On voit sur la figure, que si l’on projette un point de l’espace sur deux plans coordonnés : la coordonnée de ce point comptée sur l’axe d’intersection de ces deux plans est commune aux deux projections du point.

Dit tance de deux pointe en fonction de leurs coordonnées rectangles. Soient deux |>oints M' et M”, dont les coordonnées rectangles sont

m' et m" étant les projections de M' et M" sur le plan XY, on a :

et si l’on mène la parallèle M'P à m'm”, le triangle rectangle M'M"P donne en appelant a la distance cherchéo M'M" -

i'=mW r +(«' 1 — i’ )*

d’où par substitution :

Telle est l’expression de la distance cherchée

Remarque 1. Si l'un de» points passe par l’origine , alors :

par suite :

Remarque II. — En appliquant la formule (1) à deux points infiniment voisins dont les coordonnées sont x, y, Z ; x 4- dx, y -+- dy, * +■ dx et dont la distance est dt, on trouve :

d» = \/ rfx 1 r dy i + dz‘.

Reprétenlation géométrique d'une équation à une variable.

Soit une équation f[x) = o.

Décomposée en facteurs du premier degré, cette équation est de la forme :

d’où :

x == a, X — b x zz b

Si a est réel, le lieu de l’équation x = a est tel, que pour tous ses points : son x est constante; ce lieu est donc le plan parallèle au plan des YZ mené à une distance a de ce plan. De même, le lieu de l’équation x — b est un plan parallèle au plan des YZ, si b est réel.

L’équation f(x)zzosi elle a des racines réelles représente donc un nombre déterminé de plans parallèles au plan des YZ.

Rcprétrntation géométrique d'une éipiathm ù deux variublet.

Soit l’équation à deux variables f[x, y) = o.

Sur le plan XY, l’équation f ( x, y ) = o représente une certaine courbe AA’; et il est évident, que pour tout point M de l’espace, ayant pour projection sur le plan XY, un des points de la courbe AA', les coordonnées de ce point M satisfont à l’équation proposée.

En effet,' la projection m du point M étant sur AA'; et «, C étant ïx et l’y de ce point, on a ; f(*. C) = o.

Or y étant le z do M, puisque l'équation f{ x, y ) = o peut s'écrire f[x, y, o.z ) = o ; on a aussi :

Les coordonnées du point M satisfont donc À l'équation proposée. L’équation f [x, y) = o représente donc dans l'espace le lieu de toutes les parallèles à l'axe des z menées par les différents points de la courbe [{ x, y) = o construite dans le plan XY. ,

Une équation à deux variables représente donc une surface cylindrique, dont la génératrice est parallèle l'axe dont la coordonnée n'entre pas dans l'équation et dont la directrice a pour équation sur lè plan perpendiculaire à cet axe, l'équation proposée.

Remarque. — Si l’équation ([x, y) — o, est du premier degré : elle représentera un plan parallèle à l'axe des z, dont la trace sur le -plan XY a pour équation f'x, y) = o.

Représentation géométrique d'mse équation à trois variables.

Soit une équation à trois variables :

Cette équation est le résultat de l’élimination de z entre les deux équations :

la quantité a étant arbitraire.

En d’autres termes, les coordonnées d’un point quelconque du lieu de l’équation f( x, y, z ) = o satisfont aux deux équations :

l'équation x = a , représente un plan parallèle au plan XY et l’équation f (x, y, a) — o représente une surface cylindrique dont la génératrice est parallèle à l’axe des z ; l'ensemble des deux équations :

représente donc la courbe d’intersection du plan et de la surface cylindrique.

De même, pour une autre valeur a' donnée à z, on obtiendra une nouvelle courbe et ainsi de suite ; ces courbes seront très-rapprochées , si l'on suppose voisines les valeurs a, a\ données é z.

L'équation f ( x, y, : ) = o qui donne ainsi toutes tes courbes, représente donc le lieu géométrique des positions voisines d'une ligne, c’està-dire une surface.

Remarque. — L'équation d'une surface étant du degré m, on voit que la surface ne pourra être rencontrée par une droite en plus de m points.

Une turface étant définie, trouver son équation.

La définition de la surface donnera pour un quelconque de ses points une relation entre les trois coordonnées x, y, z de ce point ; cette relation sera l’équation de la surface.

Exemple. — Equation (le la sphère.

Appelons «, C, y les coordonnées du centre, et R le rayon de la spfière. Soient x, y, z les coordonnées d’un point quelconque de la surface; sa distance au centre est R. Pour exprimer cette relation on a d’après la formule de la distance de deux points :

(**}* + (y — £)«+(, ->j« = RL

Telle est l'équation de la sphère. .

Représentation d'une ligne de l'espace.

Une ligne est déterminée par ses projections sur deux plans ; si donc nous prenons pour plans de projections le plan des ZX et le plan des ZY; nous représenterons une ligne par les équations :

(1). * = F .(s), ' ' jf = ♦(*).' ‘ " .

des projections de cette ligne sur les plans ZX et ZY. .

L'élimination de z entre les équations (1), donne une équation fonction de x et de y, laquelle est celle de la projection de la ligne sur le plan XY. ■ .

Représentation de la ligne droite.

La projection d’une ligne droite sur un plan est une ligne droite ; donc une ligne droite de l'espace sera représentée par les équations ;

x = az + p y — bz + q

de ses projections sur les plans XZ et YZ.

ParalUlùme de deux droite e.

Les équations de deux droites étant :

x = ax + p. . . . x = a'x + p'

y = bx 4- q y — b'x + q'.

pour qn’elles soient parallèles, il faut que l'on ait :

On sait, en effet, que si deux droites sont parallèles, leurs projections le sont aussi et réciproquement.

Êquationt de la droite qui pane par deux pointe donnée ut, y*, x’:

l-es équations de la droite cherchée sont de la forme :

y = bz

les inconnues sont les constantes a , b, p, q.

Les deux points devant se trouver sur la droite, on a les équations :

x' — az' 4- p.

. y', = bx' + q. .

x" = ax" + p.

y" = bi" 4- q.

La substitution des valeurs de : p, q, a et 6 tirées de ces quatre équa- , lions, dans les équations (1)' donne, pour les équatidhs de la droite cherchée :

Equation t d'une droite paeeant par un point donné x', y', x'.

Les équations de la droite cherchée sont :

Les coefficients a et b, y sont indéterminés, ün sait pourquoi.

ANALYSE

Memarque. — Si la droite passant par le point x' , y', *' devait en outre , être parallèle à une droite donnée ; les coefficients angulaires a et b des projections rie la droite cherchée, seraient ceux de U droite donnée.

Calcul des coordonnée* du point -de rencontre 4e de aœ droite ».

Soient les équations des deux droites données :

j- = az + p t = a' z -f- p'

yznbz + q. y = b'z-t-q‘.

Les coordonnées de leur point de rencontre doivent satisfaire à ces équations, four avoir les coordonnées de ce point, il suffit donc de résoudre les quatre équations ci-dessns.

Ici le nombre des équations est supérieur d’une unité à celui des inconnues, il y aura donc une équation de condition, VarjoeHe es» :

Cette équation exprime donc le condition qui doit exister pour que deux droites se coupent, c’est-à-dire pour qu’elles soient dans un même plan.

Angle <f une droite avec te» trois axes coordonnés.

Soit OM la parallèle à la droite, menée par l'origine; , ’ prenons OM — 1 « soient f ' « ' x', y', t' les coordonnées

m du point M, alors :

Sur la figure on a, en désignant par a, C et y les angles cherchés :

x' — cos a., y' — cos C, s’s= cos y

Les équations de ht droite OM sont :

« = az, y — bz.

a et b sont des nombres donnés, et puisque £ , y', z' est sur la droite on a : ■>

x' = a*', y' = bx'.

La résolution des «à équations ;

x' = cos ut, y' = cos C, r* = cos y.

x' = a:', y' — bz\ x '* -I- ÿ'* + *'* » t.

donne : • •

"*■ 1 = “■ 8 - TôKHsa- “ - es*?*?* •

Remarque. — La somme des carrés de ces trois inconnues est l'unité. Donc : la somme des carrés des cosinus des angles qu'une droite fait avec trois axes rectangulaires, est égale à l’unité.

Et plus, 'généralement :

La somme des carrés des cosinus des angles, que la diagonale d'un parallélipipède rectangle fait avec les trois arêtes est égale à l'unité.

Expression du cosinus de l'angle de deux droites en fonction des cosinus des angles que ces droites font avec les axes.

r Soient deux droites 0M\ OM" passant par l'origine.

• Prenons OM' m OM" *= i.

Appelons : x', y. x'\ *"

les coordonnées des points M' et X M"; puis V, l’angle des deux droites et «, C, y, C’, >' le* angles que cos droites font avec les trois axes.

Alors, d’après ce qui précède ;

x' =eos y... cos , *-f-cos , C-t-COS a y= 1 . 2 "— cos y' ... cos'* + cos'C é-cos’y= 1 .

Le triangle M'OM" donne :

M 7 M"= OM' + OM 7 ' — SOM'.OM" .cos V =s 2 — 2 cos V . MÏiF*=(*'' — x' ) J + (y" — y')*4-(x"— x' )* =

cl à cause des équations (1) :

2 — 2 cos V —2—2 cos t cos — 2 co* C coi C— 2 co* y ci» y

D’où finalement :

co* V = cos «. cos *' 4- cos C cos C 4 cos y cos y'.

c’est-à-dire que : . ■

Le cosinus de l'angle de deux droites, est égal à la somme des produits des cosinus des angles, que font respectivement les deux droites, avec chacun des axes coordonnés.

Définition et équation du plan.

Le plan est la surface engendrée par une droite mobile, qui en s’appuyant constamment sur une droite fixe, reste toujours parallèle à une même direction.

La droite mobile prend le nom de génératrice et la droite fixe est dite directrice.

Ceci posé, soient

x = az +f, y = bz -f- q (1)

les équations de la génératrice. Puisque la génératrice reste constamment parallèle à elle-même, les coefficients a et b sont constants; au contraire p ci q varient pour chaque position de la génératrice.

’ Soient ;

les équations de la directrice; alors a', b\ p' et q' sont des constantes pour un même plan.

Exprimons d'abord que la génératrice s'appuie sur la directrice , c'est-à-dire la rencontre, nous aurons l'équation ;

Et afin d'éliminer les indéterminées p et q portant dans (2) les valeurs p = x — az, q = y — bz tirées de (1), il vient ainsi ;

p' + az — x q 1 4 bz — - y

Telle est la relation qui existe entre les coordonnées d’un point quelconque de la génératrice indépendamment de la position particulière qu’elle peut occuper.

C’est donc l'équation du plan.

Cette équation est du premier degrc en x, y, z.

Réciproquement. — Toute équation du premier degré à Irai» variables représente un plan.

En effet, i’équation générale du premier degré à trois variables :

Ax 4- By 1 - Cx - 4 - D = o

étant du premier degré, représente une surface, laquelle 11e peut être rencontrée par une droite en plus d’un point; cette surface est donc plane.

• Equation d'un plan en fonction de ses coordonnées à T origine.

Soient M, N, P les trois points de rencontre d’un plan avec les trois axes.

Les distances OM, ON, OP que nous désignerons par p, q , r sont dites, les. coordonnées à l’origine du plan.

Les coordonnées des points M, N, P, sont :

Soit Ax 4- By 4 - Cs 4- I> = 0, l'équation du plan.

Les points M, N, P étant sur ce plan , leurs coordonnées satisfont à l’équation de la surface et l’on a :

Ap 4- D = 0 d’où

By 4- D — o

Cr 4 - D = o

la substitution des valeurs de A, B, C, dans l’équation du plan, donne après toutes réductions :

Tell-’ est l'équation cherchée.

Du problème t *ur le plan.

Pour résoudre sur le plan les problèmes résolus sur la ligne droite dans la géométrie à deux dimensions, on suivra la marche indiquée dans cette partie du cours.

On trouvera ainsi î

1* Pour l’équation du plan qui passe par un point x' y z'.

ou bien :

2" Pour l’équation du plan qui passe par trois points donnés

/ » f» ..n i». ..m rr»

(y’-y'K^H VWllÿ-ÿ) z'Ü;/— y 1 .

3» l/intersection de deux plans sera donnée par la combinaison des équations.

A-r -+- By -4- Ci 4- D =o,

de ces plans.

L élimination de y entre ces deux équations donnera la projection de Pinterseclion sur le plan Xz.