DONNÉE

Soit une courbe dont l'équation [ [x, y, a) — o , contient une consiante a que l'on met en évidence.

Pour une valeur différente de a, la courbe f (x, y, a) — o, représente une autre courbe , de même forme et de même nature , or , si l’on fait passer la constante a d'une manière continue par toutes les grandeurs, l'équation f (x, y, a) = o , donnera lieu à une infinité de courbes de même nature , lesquelles seront infiniment voisines. Toutes ces courbes se coupent entre elles, et le lieu de leurs intersections successives prend le nom de courbe-enveloppe de la courbe proposée.

Proposons-nous de calculer l’équation de la courbe-enveloppe d’une courbe donnée par son équation.

Soit f [x, y, a) = o , l'équation d’une courbe dans laquelle on fait varier la constante a.

Soit a -t- ao une valeur voisine de x, pour cette valeur on obtient une courbe dont l'équation est :

f ( x, y, a -h an ) = o.

Appelons X et Y les coordonnées du point de rencontre des deux èourbes f[x, y, a) = o et f[x, y, a + Aa); ce point étant sur chacune des courbes, on a :

/•(X, Y, a + ao) =io,

par suite :

f(\, Y, a + ia)-f(X, Y,o)=o,

d'où , en divisant par Aa :

f(X, Y,g + An)-f(X,Y, o)

AO

Cette équation a lieu quel que soit &a ; en sorte que, si l'on passe à la limite de àa, elle existe encore ; pour cette limite, son premier membre

devient c’est-à-dire que son premier membre est la dérivée de la

fonction f (*, y, a) prise par rapport à a considérée comme seule variable.

L’équation ^ est une fonction de X, Y et de a.

Si donc, on élimine a entre les équations ^ et f (X, Y, o) ou (1) , on

trouvera une équation en X et Y , laquelle sera celle du lieu cherché.

Donc : pour atoir l’équation de la courbe-enveloppe d'une courbe donnée , dam laquelle on fait varier une confiante; il faut éliminer cette constante entre cette équation et la dérivée de celte équation prise par rapport à la constante considérée comme seule variable.

Application. — Proposons-nous de calculer l’équation de la courbeenveloppe , de la trajectoire dans le vide.

Soit l’équation de la trajectoire dans le vide :

y = xtg« —

44 cos 1 *

Il s’agit de déterminer la courbe-enveloppe de cette trajectoire, en y faisant varier la constante <t.

L’équation (1) peut s’écrire ainsi :

y = X »g * COS et.

la dérivée de cette équation, prise par rapport à * considérée comme seule variable, est :