DÉFINITION GÉNÉRALE DE LA TANGENTE A CNE COURBE QUELCONQUE

Par tangente à une courbe en un point M, on entend la limite MT des positions successives que prend une sécante MM' qui passe par ce point et un second point M' de la courbe, lorsque ce second point se rapproche indéfiniment du premier en restant constamment sur la courbe.

On peut ainsi considérer la tangente en un point d’une courbe , comme le prolongement de l’élément rectiligne, infiniment petit, dont »e compose la courbe en ce point.

La perpendiculaire MN, menée à la tangente au point de contact, prend le nom de normale.

La tangente en un point de l'ellipse fait det angles égaux avec les rayons vecteurs de ce point.

Soient AA' le grand axe, et F, F’ les deux foyers de l’ellipse.

Prenons deux points M et M' sur la courbe; la sécante TMM' deviendra la tangente au point M alors que le point M' se sera confondu avec le premier point.

Du foyer F' abaissons sur MM' la perpendiculaire F'P, et prolongeons-la de PU = PF', puis joignons MU, MT, FU et KF’

Je dis que le point K de rencontre de FU avec MM' doit se trouver entre les deux points M et M'; car si le point K pouvait se trouver en dehors des points M cl M', l’une des lignes brisées UMF, UM'F serait enveloppante de l’autre, ces deux lignes brisées seraient alors inégales, ce qui ne peut être, puisque, les points M et M' étant sur l’ellipse, on a :

MF -t- MF' ( ou MU ) = AA', '

M’F 4- M’F' (ou M'U)= AA*.

Et par suite :

MF + MU = M F -t- M U = AA',

Le point K se trouve donc situé entre les denx points M et M' ; par conséquent, lorsque M' viendra se confondre avec M, les trois points M, M’ et K se confondront; or, de ce que la ligne UKF est droite et que les perpendiculaires FU et PF' sont égales, on a :

angle F'KP * angle FKM'.

Donc la tangente en un point de l'ellipse fait des angles égaux avec les rayons vecteurs de ce point.

Remarque 1 . — Il résulte de ce théorèipe que la normale à l'ellipse divise en deux parties égales l’angle des rayons vecteurs du point de contact. - • .

Remarque II. — L'ellipse provenant de la section d'un cène droit à base circulaire par un plan, il eu résulte que l'ellipse ne peut être coupée par une ligne droite en plus de deux points, par suite la tangente à cette courbe ne la rencontre qu'en un seul point.

Lee tangentes aux extrémités des axes de l’ellipse sont perpendiculaires à

ces axes.

Soient AA', BB', F et F' les axes et les foyers de l’ellipse.

Les rayons vecteurs du point A se confondent avec le grand axe K AA'; par suite TT’ étant la tangente en A, on a ;

angle A'AT = angle A' AT',

et comme la somme de ces deux angles vaut deux droits, il en résulte que TT' est perpendiculaire sur AA".

De même T"T" tangente en A' est perpendiculaire sur AA'.

Soit TT" la tangente en B, les rayons vecteurs du point B sont BF, BF', et l’on a :

angle TBF = augle T"BF'.

Et puisque le triangle F!BF est isocèle, il en résulte que angle F’BO = angle OBF.

Par suite TT" est perpendiculaire sur BB’.

De même T'T'" est perpendiculaire sur BB'. ,

L'ellipse est donc inscrite dans le rectangle construit sur ses axes.

Les points extrêmes des axes sont appelés les sommets de la courba.

PuoblImi. — Mener par wn point un* tarifent* à l'tllipt*.

Si le point est donné sur la

k rayons vecteurs MF et MF' de ce point, puis la bissectrice MN de l'angle formé par ces rayons.

t' Cette ligne MN est la normale menée en M ; alors, si snr MN on élève la perpendiculaire TT', on

courbe en M, je mènerai les

a en TT' la tangente cherchée. Ou bien, on pourrait mener immédiatement la bissectrice de l'angle F'MK , MK étant le prolongement du rayon vecteur FM.

Le problème n'admet évidemment qu'une sente solution.

Soit R le point donné ; supposons le problème résolu, et soit RMT la tangente cherchée.

Si le point M de tangence était connu, la question serait résolue. Cherchons ce point.

Abaissons de F' la perpendiculaire F'P sur la tangente, et prolongeons-la de PU = F'P; puis joignons RF', RU, MF', MF et MU.

De cette construction résulte ceci : •

La ligne UM est le prolongement de MF; donc, si le point U était déterminé, T intersection de la ligne UF avec l’ellipse donnerait le point de tangence.

Le point est hors de la courbe.

Or RU = RF', donc le point U se trouve sur le cercle décrit de F comme centre avec le rayon connu RF'.

De plus , MU = MF’ ; donc MU -+- MF = MF' -+- MF = A'A ; donc le point U se trouve sur le cercle décrit de F comme centre, avec le grand axe pour rayon.

Le point U se trouve donc à l'intersection de deux cercles dont le centres et les rayons sont connus.

De ces considérations résulte la construction indiquée sur la figure.

La construction est-elle possible? Pour que la construction soit possible, il faut que les deux cercles se coupent, ce qui exige que leur ligne des centres, laquelle est RF, soit plus petite que la somme de leurs rayons et plus grande que leur différence.

Le triangle RFF' donne :

' RF<RF'+FFV

RF > RF' — FF".

Et à fortiori, puisque FF' est moindre que AA',

RF < RF' -4- AA', I RF < AA' 4- RF',

RF > RF' — AA', ’ 0U en I RF > AA' — RF'. . .

Si le point est hors de la courbe, les deux cercles se coupent ; donc, dans ce cas, il y a deux tangentes & l'ellipse menées par le point donné.

Si le point est sur la courbe,

RF = A A — RF'.

Donc les deux cercles sont tangents intérieurement, et l'on ne peut mener qu'une tangente à l'ellipse par le point donné.

Enfin, si le point est dans l'intérieur de la courbe,

AA’ > RF + RF; d’où: RF' < AA'— RF.

Les deux cercles sont donc intérieurs, et il y a impossibilité de mener une tangente à l'ellipse.

Remarque. — Les deux points C et P sont les milieux des droites FF' et F U ; donc, en joignant CP,

CP = i FU, ou - AA'.

Donc la -ligne qui joint le centre de l'ellipse au pied de la perpendiculaire abaissée d’un des foyers sur la tangente en un point de cetle courbe est constante et égale au demi-grand axe , c'est-à-dire que :

Le lien des projections des foyers de l’ellipse sur ses tangentes est le cercle décrit sur le grand axe de cette courbe.

Problème. — Mener à l'ellipse, une tangente parallèle, à une direction

donnée.

Soit MM' la direction donnée; supposons le problème résolu et soit TT' la tangente cherchée laquelle est parallèle à MM'.

Abaissons de l'un des foyers, F' par exemple, la perpendiculaire F'U, et prolongeons-la de UK = UF', si le point K était connu, h» question serait résolue, car en menant par le point U milieu de KF' une perpendiculaire sur KF', on

aurait la tangente cherchée.

Joignons le point P de tangence aux points K et F, F', dès lors KP = PF' et KP est le prolongement de PF, par suite,