AF = AA = AD
En sorte que le point A, origine de la courbe d’intersection du plan MM' et du cône, divise en deux parties égales la longueur DF.
Ceci posé, soit P un point de la courbe d’intersection du plan MM’ du cône ; menons par ce point le cercle uu' perpendiculaire à l’axe du cône ; puis joignons PF, PK et menons la génératrice SP.
De cette construction il résulte que KP est perpendiculaire sur MM' et par suite parallèle à DD' et que PF est tangente à la sphère de centre O ainsi que PA.
Comme tangentes menées d’un même point à une même sphère,
PF = Pô. b
Or.
Donc :
PA = uA — AA ( ou DA 1* Au ( ou AK ) = DK.
PF = DK.
Et puisque DK représente la distance du point P à la droite PP\ il en résulte que :
La section du cône droit par un plan parallèle à Lune des génératrices, est une courbe dite parabole, dont tous les points sont également distants d'une droite et d'un point déterminés et situés dans son plan.
La droite fixe DD' se nomme directrice et le point F foyer.
Remarque I. — Tout point pris en dehors de la parabole est plus rapproché de la directrice que du foyer; le contraire a lieu pour un point pris-dans J’intérieur de la courbe.
Remarque II. — Si le second point M' ( voir la première figure ) de rencontre de la trace du plan MM' avec la génératrice SY s’éloigne constamment du sommet S, il arrivera à être parallèle à la génératrice SY qu’il rencontre à l’infini.
Dans ce cas, le second foyer de l’ellipse ainsi que le centre de cette courbe, se trouvent A l'infini; et l’ellipse s'allongeant de plus en plus devient la parabole.
La parabole peut donc être considérée comme une ellipse dont le etntr* et l'un des foyers sont situés à f infini.
On démontrera comme précédemment que la perpendiculaire AF •abaissée dn foyer sur la directrice DD' est l’axe de la parabole.
<• Le point A milieu de DF est le sommet de la courbe.
COKSTBUCnO* DE LA PARABOLE PAR POIHTS CO JOUISSANT SON POTER ET SA DIRECTRICE.
Soient F le foyer et DD' la directrice de la parabole.
En abaissant de F sur DD' la perpendiculaire KFx on a la direction de l’axe et si l'on prend le point A milieu de KF, A est le sommet de la parabole.
Sur l'axe Kx et à partir de A, prenons un point quelconque C ; en ce point sur Ax, élevons la perpendiculaire uu ' , puis du point F comme centre avec la distance KC, de cette perpendiculaire à la directrice, décrivons un cercle, lequel coupera uu' en deux points M et M' ; ces deux points appartiennent à la parabole, car on a :
