MF = MP

Pour tout point, tel que C pris sur Ax, on a ainsi deux points de la parabole ; on obtiendra par ce procédé autant de points de la courbe que l'on voudra. La jonction de ces points par un trait continu donnera la parabole.

On peut par le procédé suivant, décrire la parabole d’un trait continu :

One équerre a6M, glisse suivant un de ses côtés de l’angle droit, le

long de là direc trice DD’,

un fil de longueur &M est fixé parsesdeux extrérai- . tés en M et en F, à me-

sure que l’équerre glisse le long de DD', un style amène le fil le long du côté M b et puisque dans toutes les positions de l’équerre, la pointe du style est équidistante du foyer F et de la directrice DD', cette pointe décrit la parabole.

Variili de la parabole. — Si le plan MM', passe par le sommet du cône, il devient langent au cône et la section se réduit à l’arête de contact. La parabole peut donc se réduire à une ligne droite.

La tangente fait des angles égaux avec le rayon vecteur du point de contact et la parallèle menée par ce point à l'axe de la courbe.

TT' étant la tangente menée en M à l’ellipse, on a :

(1) angle TMF' = angle TMF.

Si l’on suppose que le foyer F s’éloigne successivement vers l’infini, l’égalité (1) subsiste toujours.

A la limite, c'est-à-dire lorsque la distance FA’ est infinie, la li- AA’ et l'ellipse devient la parabole , en sorte que pour cette courbe on a :

angle TMF = angle FMU.

Remarque. — La tangente à la parabole n’a qu’un point commun avec la courbe. En A, la tangente est perpendiculaire à l'axe.

Problème. — Mener par un point donné , une tangente à la parabole.

1* Le point donné est sur la courbe.

Soit M le point donné par lequel on veut mener une tangente à la parabole dont le foyer est F et dont la directrice est DD’.

Supposons le problème résolu et soit MT la tangente cherchée, on a :

ang. TMF = ang. T’ MU.

Par suite si l’on prolonge MU jusqu'à sa rencontre en P avec DD’,

angle PMT = angle TMF.

Donc pour mener la tangente au point M pris sur la courbe, il suffit de mener le rayon vecteur Mt

de ce point et la perpendiculaire MP abaissée de ce point sur la directrice, pnis de tracer la bissectrice de l'angle formé par ces deux lignes.

Ce qui revient 4 joindre le point donné M au point de rencontre 1, de la tangente KK' au sommet et de la ligne FP.

En effet, le triangle PMF étant isocèle, la bissectrice Ml doit passer au milieu de la base PF. Or ce milieu est le point I, car AH = AF et KK' est parallèle à DD‘.

Remarque. — La ligne Fl est perpendiculaire sur la tangente MT ; donc ;

Le lieu des projection» du foyer de la parabole sur set tangentes ut la tangente menée au sommet de la courbe.

I-a droite KK' est en effet ce que devient le lieu des projections des foyers de l'ellipse sur ses tangentes, lorsqu'on suppose infini le grand axe de cette courbe.

2* Le point donné est hors de la courbe.

Soit K le point par lequel on ■ veut mener une tangente à la parabole ét soit RM cette tangente cherchée; menons le rayon vecteur FM, puis la perpendiculaire MP et joignons PF.

Nous savons que le point 1 est le milieu de PF, dès lors si le point P, situé sur la directrice DD' était connu, le point de tangence le serait également; car ce y ' point- s’obtiendrait par l’interscc-

rt"-' tion de la droite PM élevée en P

sur la directrice et de la perpendiculaire RI, abaissée du point donné R sur la droite PF, de plus cette perpendiculaire RI serait la tangente cherchée.

Or, remarquons que le point I étant le milieu de Pt, on a :

RF = RP.

Donc : le point P cherché est le point d’intersection du cercle décrit du point donné comme centre avec la distance RF de ce point au foyer pour rayon.

De cette analyse de la question, résulte la construction indiquée sur la figure.

Le point R étant hors de la courbe, RF est plus grand que RR'; alors le cercle de rayon 11F coupe DD' en deux points et le problème admet

deux solutions. Si le point H est sur la courbe, RF = RK', par suite une seule solution. Knfin, si le point R est dans l’intérieur de la courbe RF est plus petit que RR', par suite impossibilité de résoudre la question.

PaoBLKXK. — ParnlUUment à un t droite donnée mener une tangente - à la parabole.

Proposons-nous de mener une tangente à la parabole, parallèlement à la direction donnée VV'.

Supposons le problème résolu et soit TM la tangente cherchée; si le point de tangence M étakeoanu, la question serait résolue.

Menons la perpendiculaire MP sur la directrice et joignons PF ; nous saxons que PF est perpendiculaire sur la tangente MT et qu'en outre le point I est le milieu de PF.

Or PF étant perpendiculaire à MT, l’est aussi à sa parallèle VV'; donc en abaissant de F la perpendiculaire FU sur VV', la rencontre de cette ligne avec la directrice donne le point P.

Si l’on élève en' P sur la directrice, la perpendiculaire PM, on a ainsi un premier lieu du point M; et enfin , si par le milieu I de PF on élève sur PF une perpendiculaire TI, on a un second lieu du point M ; de plus, ce second lieu est la tangente cherchée. ., .

Le problème est donc toujours possible, sauf le cas où la direction donnée est parallèle à l'axe Ax.

La question n’admet jamais qu’une &eule solution.

La tout-normale en un point de Ut parabole etl constante et égale à la . distance du foyer à la directrice. .

Soit M un point de la parabole, menons le rayon vecteur de ce point, puis la perpendiculaire MP que nous prolongerons sur la droite.

Si nous menons la bissectrice MN de l'angle FMU , MN sera évidemment la normale du point M, car TM étant la tangente, on a :

angle TMF = angle T’MU.

Si l’on projette le point de tangence M en M\ sur l’aie Aa: , la distance M'N est dite la sousnormale.

Si l’on joint PF, les deux lignes PF et M.N sont parallèles comme perpendiculaires toutes deux à la tangente MT ; donc