FORMULE DU BINÔME PE NEWTON

La multiplication algébrique donne les résultats suivants :

( x 4 - a )* = x 3 4 - 2 aat 4 - à 1 ’

( œ -+■ a )* = x* ■+■ Sax 3 ■+■ 3a*x 4 - a*

( x 4- a ) 4 = x* 4- 4 ax 3 4- Ba’x 1 4- 4a*x 4 - a 4 ( x a j s = x* 4- 5ax* -f- iOa 1 #* 10a** J 4- 5o*x 4- a*

L'observation de ces résultats établit cette loi évidente :

Dans le développement d'une puissance entière du binôme x a.

1* Les exposants de x vont constamment en décroissant d’une unité depuis le premier terme, dans lequel l’exposant de x est celui de la puissance du binôme, jusqu’au dernier terme dans lequel l’exposant de x est nul.

2* Les coefficients du premier et du dernier terme sont l'unité.

3" Lè dernier terme est une puissance de a, marquée par l'exposant do la puissance du binôme.

4° Enfin le nombre des termes du développement est égal à l’exposant 4 - 1 , de la puissance du binôme.

Donc la puissance m”"* du binôme sera une expression de la forme :

(i + a] , = r + A. a "" -1 4- B x "— 3 4- Gr m ~ 3 4-

les coefficients A, B, C, étant des nombres convenablement déterminés. . . ' • • .

D'après la loi reconnue précédemment, le second membre doit avoir m 4 - 1 termes et son dernier doit toujours être a m .

Pour m = 0, le second membre doit se réduire à un seul terme, donc tous les termes à partir du second doivent s’annuler pour m = 0 , ç’estânalyse. 3

à-dire que les coefficients de ces termes doivent contenir le facteur m ; donc le développement de ( x -H a )" doit être de la forme :

( x 4 - « }"* == a?" + 4 - mBx " -5 mCx " - 1 4 -

Pour m= 1, le second membre ne doit avoir que deux termes et le deuxième doit être a, pour m = 1, mAx”— 1 devient A par suite :

< De plus, puisque tous les termes à partir du troisième inclusivement doivent s’annuler pour m = i, il en résulte que les coefficients de ces termes doivent contenir le facteur m — 1, en sorte que le développement de ( x -+- a }■* doit être de la forme :

(x + a)"=r"-(- max m ~‘ 4- m ( m — 1 ) Bx™ - ' 4 ... .

Pour ni = 2, le second membre doit se réduire 4 trois termes dont le dernier a pour valeur a’, pour m = 2 le troisième terme m { « — 1). devient :

Par suite :

En outre, tous les termes du second membre à partir du quatrième inclusivement devant s’annuler pour m— 2, les coefficients de ces termes doivent donc contenir le facteur m — , eu sorte que le développement est de la forme :

(x4-a)" =x” max m -‘-h — o’x'" - 5 4 -m(m — 1) [m — 2iGx“ 3 4- ..... Et ainsi de suite, on trouvera de même :

C ~ 1.2.3.’ D “ H3l’ elc

en sorte que, pour le développement de la puissance m“*“ du binôme x 4- a, on trouve la formule :

(x4-a)“ =x" -4-max“-'4 — -a > x~- a 4 — <i 3 x— J 4-..

tn(m — 1) (m — 2)...(m — »4rl)

Cette formule est due à Newton.

Loi de formation du développement de ( x -t- a )“.

Le développement de ( x -+- a }« se forme d’aprè9 la loi suivante, reconnue à l’inspection de la formule que nous venons de trouver.

1“ fat exposants de x, vont constamment en décroissant d'une unité depuis le premier terme dans lequel l’exposant de x est celui de la puissance du binôme, jusqu’au dernier où cet exposant est nul.

2° Les exposants de a, tout au contraire en croissant constamment d’une unité, depuis le premier terme dans lequel l'exposant de a est nul jusqu'au dernier dans lequel l'exposant de a est celui de Ut puissance du binôme.

3 ° Les coefficients du premier et du dernier ternie sont l'unité et pour passer du coefficient d’un terme au coefficient du terme «uitrini, il faut multiplier ce coefficient par l’exposant de x dans ce terme et le diviser par le rang de ce terme.

Le nombre des termes du développement de ( x -t- a )“ est m ■+■ i.

Les coefficients des termes du binôme vont en croissant jusqu’au terms du milieu.

Dans le développement ,

( * + o)T = *"' -HW<W— ‘-h - '^ - q ^ a i sc~~ a -r -4- o“.

Considérons le terme qui en a n — 1 avant lui et dont le rang est n ; appelons K. son coefficient numérique, la valeur de ce terme est :

Ko” - 1

D’après la loi de formation reconnue plus haut, le terme suivant a pour valeur

Le coefficient de ce terme est donc

Et pour qu'il soit plus grand que le coefficient K du terme précédent, il faut que l'on ait :

Cette inégalité donne :

Donc, tant que n { c’est-à-dire le nombre qui indique le rang d’un

TTh j J *

terme } sera moindre que — 5 — ou le. nombre des termes du dévelop-

pement de (i + o)* ; l’inégalité (a) sera satisfaite, c'est-à-dire que le coefficient d’un terme sera > que le coefficient du terme précédent.

fn— 4~1 *

Or —g— indique le rang du terme milieu. Donc, les coefficients des

termes du binôme, vont en croissant jusqu’au terme du milieu.

Les développements de ( X-+- a )’, (x-t-a) J , (x-t-a)\ etc... montrent que les coefficients des termes à égale distance des extrêmes sont égaux.

Développement de ( x — a )~ .

En remplaçant a par — a dans le développement :

(x-t-a)" =x" -Hnax” -1 - 1 — - n t -

On obtient :

" — max”— 1 ■+■ ■

Ce développement dopne en y faisant m = 2, 3, 4,.

( x — a J* = x* — 2ax a 1 ,

( x — a )* = x* — 3oa^-+-3a’x — a*,

• ■ (x — a ) 4 = x 4 — -àax 3 -}- Co’x’ — ia’x-t-a*.