CL
Lim. ( 1 -I- « ) ' = e.
Théorème I. — Le nombre e tel comprit entre 2 et 3
Puisque
e ~ 2 + l72 + ÏX3 + i.2.3.4 + '
t est évidemment > 2.
Je dis que
re+ro + 1.2.3 + ‘
En effet, remplaçons les facteurs 3, 4,... des dénominateurs par le nombre 2, nous augmenterons ainsi chacune des fractions, en sorte que l’on a :
Or
Donc e est compris entre 2 et 3.
Théorème 11. — Je nombre e est incommensurable.
Nous venons de voir que e est compris entre 2 cl 3, le nombre e ne peut donc êtreeutier; il sera donc établi que e est incommensurable si l'on démontre que le nombre e ne peut être égal à une expression fractionnaire.
Supposons en effet que l'on puisse avoir, a et 6 étant entiers : a a 1 1 1
b~ ,i ~ h i.2 + i.î.3 + roi +
La loi de formation des dénominateurs du second membre montre
que, quel que soit le nombre eutier 6, on aura dans le second membre la fraction j f ^ En sorte que l’on peut écrire
y 2+ rra+ÏX3 + .,.4-
En multipliant les deux membres de cette équation par le produit 1.2.3... 6.
Les fractions du second membre jusques y compris la fraction j -g- g - sont remplacées par des nombres entiers, en sorte que
si l'on appelle P l'ensemble des nombres entiers , on a :
