ARITHMÉTIQUE ET SOMME DES PILES DE BOULETS

Recherche de la tomme des puissances semblables des termes d'une progression arithmétique.

Soit une progression arithmétique

Appelons r sa raison, dès lors :

6 = a-t-r, c = b + r , d=±e + r,.„. l = k + r. .. . Désignons par s m la somme inconnue

a“ 4 - 6" + c" -t- dr 4- +!;“ + (".

On a, par la formule du binôme : ;

i- +, = Q ^ '+ (m+l).r.a’+ ^ + - 1 lf , r il .a"-»+ ... -Hm+l)r.*a+r* +1 ,

-c—*-»— 6— ... -t-(m+l)r".tH-r~+ l ,

d“+ l =c*-H -+-{nH-l).r.c"4- ^ w ~ l ~^ ^r 1 .e**~ t - 4 - ...+[m-hl)r".c+r* , + l , *“+'=

l-V = kr± ' + (m+l)r>+ ■+ ... +(ro4-l)r“.*4-r~+ 1 i .

On a de même :

En ajoutant membre à membre ces équations, il vient après toutes réductions faites :

De cette équation on tire ?

Telle est la formule cherchée.

Application à la mite naturelle det nombre ».

Si l’on considère la progression

La raison et le premier tertne sont l'unité, et le dernier terme exprime le nombre n des termes de la progression ; en sorte que pour la suite naturelle des nombres, la formule s m obtenue ci-dessus, devient :

5 “ m+ï -O 1 îxr - *— *“ -

Si dans cette formule, on donne successivement à m, les valeurs 1, 2, 3 on trouve :

n(n-hl)\ I .

Application det formules s, et i, à la recherche du nombre des boulets contenue dans les piles triangulaire, quadrangulaire et rectangulaire.

Pile triangulaire. — Ayant disposé sur le sol, une série de boulets de

même calibre, de telle sorte que les boulets qui se trouvent sur les bords forment un triangle équilatéral; on place entre les vides que laissent ces boulets (tous tangents entre eux ), une nouvelle série de boulets.

On obtient ainsi une seconde tranche , laquelle est encore un triangle équilatéral dont le côté, a un boulet de moins à ta base.

En continuant ainsi on arrive à ne pouvoir plus placer qu'un seul boulet, et la pile triangulaire se trouve construite.

Appelons n le nombre de boulets contenus dans le côté de la première tranche située sur le sol. Le nombre total de boulets contenus dans cette première tranche est évidemment :

1+2 + s..... +(«-i)+» -.,=ï!^±i! = ïlÿj;.

Si dans cette formule on donne à n les valeurs décroissantes n — 1,

n — 2 3, 2, 1, 0» obtient pour résultat le» nombres de boulets

contenus dans la seconde tranche, la troisième tranche, etc à partir

de la base.

Donc si nous appelons le nombre total des boulets contenus dans la pile triangulaire, nous aurons :

y+3, Ï + S. P + l + — 2 — +— r +- rf—

Ou bien :

Et finalement après toute réduction de calcul* :

Pile quadrangulaire. — Dans la pile. quadrangulaire, la base est formée par des boulets rangés en carré.

Dans les vides que laissent ces boulets, on place une série de bou-

let», lesquels forment un nouveau moins que celui de la base.

carré, dont le côté a un boulet de

En continuant ainsi, on arrive à ne pouvoir placer qu’un seul boulet, et la pile quadrangulaire se trouve construite. Soit n le nombre de boulets contenus dans le côté de la base, alors le nombre des boulets contenus dans cette base est ri 1 , et puisque chaque tranche de la pile est un carré dont le côté contient un boulet

de moins que celui de la tranche précédente, à partir de la base, il en résulte que désignant le nombre total des boulets contenus dans la

pile quadrangulaire, on a :

Pile rectangulaire. — Dans la pile rectangulaire, la base est un rectangle, les tranches successives à partir de cette base, sont aussi des

rectangles dont les deux côtés contiennent chacun et successivement un boulet de moins. La pile se trouve terminée par une file de boulets en ligne droite.

On peut remarquer que dans la pile rectangulaire, il y n autant de trancha horizontale», en y comprenant la bute et Car (te qui termine la pile, qu'il y a de boulet» contenu » dans le petit côté de la base.

Ceci posé, soit p -+- 1 le nombre des boulets contenus dans le plus petit côté de la base. *

Les côtés de la base contiendront p -H n et n boulets.

Ceux de la tranche immédiatement supérieure, contiendront et » — t boulets.

Et ainsi de suite. .

Les côtés de l’avant-dernière tranche contiendront p+2 et 2 boulets. Enfin, la dernière pile se réduit à une ligne droite contenant p ■+■ t boulets.

Donc si nous désignons par Pj -j le nombre total des boulets contenus dans la pile rectangulaire, nous aurons :

P | — | — [p~i-n)n-h (p-t-is — i) (o— i)-4- -4-(p*t*8).8-t-(fr-t*8) S+-JM-1.

Ou bien :

P , — j — n*-t-(rt“l)*-i-...-4-3 î -t-2 î -t-i*+p(n-l-n— l-t-...-t-3-t-2-fr-i) ~

Et finalement après toutes réductions faites :

□ — r tïï . •

Dans cette formule : n désigne le nombre de boulets contenus dans le plus petit Côté de ia base, et p désigne le nombre — 1, de boulets contenus dans la pile horizontale qui termine l’aréte.