NOTIONS DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
Détermination d'un point su r une ligne droite.
Un point M d’une droite xx' est' entièrement déterminé, lorsqu'on
connaît sa distance OM à nn point fixe O de cette droite, et le sens suivant lequel cette distance OM doit être comptée à partir du point fixe O. Suivant que la distance OM comptée à partir de O, est prise dans un sens ou dans l’autre, on l’affecte du signe 4 - ou du signe — .
La convention du signe 4- ou du signe — se rapportant à l’un des deux sens ( à droite ou à gauehe ) est complètement arbitraire.
Pour fixer les idées, nous conviendrons d’appeler distances positives, les distances comptées à droite du point fixe O, et nous les affecterons du signe 4-; par suite les distances comptées à gauche du point fixe O seront appelées distances négatives, et nous les affecterons du signe — .
Ainsi la distance OM, est positive et la distance ON est négative.
Détermination d'un point, sur un plan, par le moyen des coordonnées rectilignes.
Traçons sur un plan, deux droites xx' et y g' se coupant en O, sous nn angle quelconque.
Convenons que les distances comptées à partir du point fixe O, seront : positives, lorsque prises sur xx', elles seront portées à droite de O et que prises sur yy‘, elles seront comptées au-dessus de xx'.
Ces distances seront négatives, lorsqu’elles seront comptées dans les sens inverses.
Ceci posé, soit à déterminer la position d'un point quelconque M du plan. Menons par ce point M, les droites MP et MQ, respectivement parallèles à yy‘ et à xx' .
Le point M sera entièrement déterminé lorsqu’on connaîtra les nombres positifs ou négatifs qui représentent OP et OQ. Car ces nombres étant connus on en déduira les positions'des points P et Q sur les droites xx' et yy', puis en achevant le parallélogramme OPMQ, on aura le point M.
M finitions. — La longueur OP, prise avec le signe qui lui convient, est appelée l'abscisse du point M.
La longueur OQ ou son égale MP, prise avec le signe qui lui convient, est appelée l’ordonnée du point M.
L’abscisse et l’ordonnée sont aussi désignées par le nom commun de coordonnée*.
Ainsi l’on dit : les coordonnées du point M sont OP et OQ.
L’abscisse se représente généralement par la lettre x, et l’ordonnée par la lettre y.
Ainsi l’on a, d’après les conventions établies ci-dessus :
Pour le point M x = -+- OP, y.= + OQ = -t- PM.
Pour le point M' x — , — OP’, y = + OQ' = -4- P'M’.
Pour le point M" x — -+- OP", y = — OQ 1 = — P" M".
Et enfin pour le point M'" ... x = — OP”', y — — OQ" = — P"M'".
Les droites xx' et yy’, prennent le nom d’axes des coordonnées ; xx est dite l’axe des abscisses ou l'axe îles x, et yy' est dite l'axe des ordonnées ou l’axe des y.
Divers systèmes de coordonnées.
Lorsque deux quantités sont telles, que la connaissance de ces deux quantités permet de fixer la position d'un point sur un plan, on donne à ces quantités le nom de coordonnées de ce point.
Les coordonnées définies ci-des,sus, sont dites coordonnées rectilignes.
Les coordonnées rectilignes sont rectangles ou obliques, suivant que les axes forment un angle droit ou oblique.
Soit une droite fixé P* tracée sur un plan et soit P un point fixe marqué sur oette droite.
Il est évident qu'un point quelconque M du plan est entièrement dé-
terminé par la connaissance de l’angle MP* et de la distance MP.
Ces deux quantités sont dites les coordonnées polaires du point M.
La coordonnée linéaire MP est dite le rayon vecteur ; le point fixe P est dit te pôle, et la droite fixe P* est désignée par le nom d'axe polaire. »
On représente le rayon vecteur par r et l'angle variable PM* par 6.
L'angle variable MP* se compte de 0° à l’infini et suivant qu’on le compte daus un sens ou dans l’autre, il est positif ou négatif. Nous conviendrons de le considéret comme positif lorsqu'il sera décrit de la droite vers la gauche et comme négatif dans le cas contraire.
On admet des valeurs positives et des valeurs négatives pour le rayon vecteur.
Il existe plusieurs systèmes de coordonnées. Nous ne parlerons que des coordonnées rectilignes et des coordonnées polaires.
Equation d'une ligne.
Les lignes considérées en géométrie, sont définies par une propriété commune à leurs différents points; ce sont donc des fieu* géométriques.
On conçoit qu'une ligne étant ainsi définie, on pourra de sa définition, déduire une relation entre les coordonnées d’un quelconque de ses points. ‘ ,
Cette relation sera évidemment la même, quel que soit le point considéré, puisque la définition est la même pour tous les points de la ligne.
La relation constante, qui existe entre les coordonnées d’un point quelconque d'une ligne, est dite l'équation de cette ligne.
Problème 1. — Une ligne étant définie, trouver son équation.
Soit par exemple à trouver l’équation de l’ellipse.
Soient F et F' les déni foyers de la courbe ; appelons 2a la longueur de son grand axe, alors pour un point M de cette courbe on a :
MF -+- MF' = 2a ..... (1)
Désignons FF' par 2c :
Prenons la droite FF' pour axe des * et sur le milieu O de cette droite FF', élevons une perpendiculaire yy’ que noua prendrons pour axe des y.
Par ce chai* des axes et d'après la nature de la question, on voit que le lieu cherché est symétrique par rapport aux lignes xaf et t/y'.
En abaissant MP perpendiculaire sur xx, MP et OP seront l’y et l’x du point M.
Nous avons à chercher la relation qui existe entre x et y.
A cet effet, les triangles rectangles MFP et MF'P donnent :
-• (i),>..MF =y* + (e + »)\
[3} ... . MF' = y® -*- ( e — « )*
En retranchant la seconde équation de la première, il vient puisque MF -F MF = 2a
2a ( MF — MF) = kcx.
D’où l’on tire :
MF — MF =r
2ex
Cette dernière équation combinée avec l’équation (1) nous donne :
MF — a -t- — , MF'=a — — .
La valeur de MF portée dans (1), conduit à l'équation : , (o + y) = y J + (c — x}’
laquelle devient après toute réduction de calculs :
'• ay -F (a* — «*) a? = a* («* — c*), ■>
ou bien, en posant a 1 — <? = b* ,
Telle est l’équation du lieu proposé.
CSC ex
Rtmarque. r- 1-es expressions MF = a -F — , MF' = a font
connaître les valeurs des rayons vecteurs d’un même point de la courbe, en fonction de l'abscisse a- de ce point.
Les fonctions a -F a — — sont rationnelles et du premier degré. Équation dt la parabolt.
Prenons pour axes des x, la perpendiculaire FH abaissée du, foyer F sur la directrice DD' et pour axe des y la parallèle Ay menée à la directrice par le sommet A.
Soit A un point de la parabole, alors :
