I. Soit A construire la ligne dont l'équation est

. . 0 y 4- F 1 * 1 jo « 2 h 2 .

Cette équation est celle du lteu des points dont la somme des distances à deux points fixes F, F séparés par la longueur 2c est constante et égale à 2n; de plus dans cette équation, b q représente la différence à 1 — c*. Soit OA = 0A' = a, alors AA' est la constante 2a.

L’équation :

RésoKie par rapport à y, donne ,

Sous cette forme, on voit que la Valeur, variable d'e y, dépend de la Valeur arbitraire donnée àî(on dit alors que y est une fonction d'a;).

Pour construire la courbe proposée, noos ferons croître x de 0 à + co et de 0 à — ® ; nous en conclurons les valeurs correspondantes de y et en construisant les systèmes de valeurs correspondantes de x et de y, nous obtiendrons une série de points, dont la jonction par un trait continu, sera la courbe cherchée. * •

Pour x = 6, y = + i.

La forme j = J j y mon l re que pour .r = 0, la valeur b

correspondante de y, est la valeur maximum de y. Donc si de F' comme Centre avec OA ( on a ) pour rayon on décrit un cercle, les points B et B' de rencontre de ee cercle avec.yy 1 , sont Ut points de la courbe Ut plut élevés au-dessus et au-dessous de l'axe des x; car

0B = OB' = y/w’ — 0F* — -j/ 0Â*— 0F.= v/«^ — c 1 = b.

Et de pins, nous venons de reconnaître qûe b est la valeur maximum de l’ordonnée y. • : * "

Pour des valeurs de x, comprises entre 0 et a, l’équation :

montre que lés ordonnées correspondantes ne cesseront pas titre réelles et de décroître constamment; c’est-à-dire que de 0 à a, dans l’espace des deux parallèles yy' et aa’, il y a une infinité de points de la courbe lesquels partent de It rn s'abaissant constamment vers Casse des x. Pour x = a, y = 0. Donc le peint A est un point de la courbe.

< Pour des valeurs de x plus, grandes que a, l'ordonnée y=i ~ \/ n*"— **

ne cesse d'être imaginaire, c'est-à-dire qu'au delà de la parallèle aa' il n’y a pas de points de la courbe.

Nous avons reconnu plus haut que cette courbe est symétrique par rapport aux. axes xqs‘ et yy', ce que confirme encore la forme de son ’ équation , ’ ’ ' . ■

. . .. •. ay,+ 6V = a’i) 1 ,

laquelle ne contient que des termes de deuxième degré en x et en y et qui par conséquent ne change pas alors qu’on y remplace x par — * et y par y. ;

La courbe en question est donc limitée dans tous les sens, car. ta dif* fércnce b 5 — c* ou i* est finie. ■ .. ..