IV. Soit A construire la eputbe dont l’équation est

Pour x

O, oh a y r-

Donc si sitr l'axe des y et eu dessous de xx’, jo prends la longueur AA == i, j'ai on A. un point de la courbe. . • ' #

En décomposant le numérateur et le dénominateur de leqyalipn proposée, en facteurs du premier degré, ce qui est possible ici, l’équaliou proposée devient : . ...... . , ...

- • ' y ^ (x— ÏT) (x-^-6 )••• •• .

Sous celle forme on voit que : ' , ■ : .

Pour des valeurs de x comprises enlre 0 et 1, l'ordonnée y ne cesse < d'ètre négative et de plus pour * -= 1, y = 0.. Donc, si l'on prend sur xx' la longueur Dit = 1, la courbe part du point A et va.au point B en restant au-dessous de l'axe des x.

‘ En donnant à x des valeurs comprises entre 1 et 2, l'ordonnée y devient positive»- c'est-à-dire qu’à partir de B Ja courbe passe au-desàus <kr l’axe desÆ. Pour x.=X, y = ao ; donc si par le point C tel que OC *= 2, on mène une- parallèle lt‘ i l’axe des y, la courbe dans l’ intervalle de x = 1 à x x= 2, part du point B et ya rencontrer la parallèle l l' à l'infini, en restant au-dessus de Paxp des x. ■ . .

Pour des valeurs de x plus grandes que 2 et plus petites que -6; l’ordonnée y devient négative; donc la courbe repasse au-dessous, de l’axe des y. Pour x =c 6; y devient encore infini, .donc si je prends sur xx', la longueur OD ■= 6 et si par D, je mène la parallèle kk‘ à l'axo-des y, dans l’intervalle de-as = 2 à x = fi, la courbe part de l'ipüni suivant la parallèle II' et revient à l’infini suivant la parallèle kk', en restant au-dessous de l'axé des abscisses. '

Ponr des valeurs de X, plus grandes que 6 ot croissant indéfiniment, l'ordonnée y. redevient et reste constamment positive. Elle part de l’infini.

Polir savoir quelle limite «lie atteint, alors-que ± tend vers l’infini, nous diviserons haut et bas le second membre de l’équation

par x’ et en introduisant l’hypothèse x—ao , après cette division, nous trouvons y st: 1. . . . ,

Donc si par le point E.-distant de 0 d’une longueur OE =: 1 , je mène , la parallèle EX À l'axe des x,.la courbe au-delà de x — G, pari de l'infini suivant la parallèle H' et va rencontrer à l'infini la parallèle-, EX, en restant toujours au-dessus de l'axe des x.

Pour obtenir la portion de là courbe, représentée par l'équation

et située du côté des x, je remplace x par — x dans cette équation et j'ai ainsi pour l’ordonnée de la courbe située à gauche de yy' :

Ou bien : . 4

Les valeurs positives données à x, dans cette équation, doivent être portées à gauche de l'origine.

Pour x = 0, y = — • ^ ce que nous savions.

Pour des Valeurs de x comprises entra 0 et -3, l’ordonnée y, ne cesse d'étre négative, et puisque pour x = 3, y i=; 0 il, en résulte que si l'on prend à gaucho de l'origine, une distance 0F ^= 3, la- partie de la cmirbe située à-gauche des-y, part du point A et arrive en F en. restant au-dessous de l’axe des x; duos l'intervalle à«x-a-Oàa = 3.

Pour des valeurs de x plus grandes que 3 et indéfiniment croissantes, l'ordonnée y rédevient positive et puisque- pour la limite'x ac oo , y 3= 1, il s'ensuit qu’à partir de F la courbe passe- afi-dessus de l'axe des x et va rencontrer à l’infini la parallèle EX. -

■ Ainsi se trouve construite la courbo dont l'équation est : “ ••• .

• •'• •• - y = x*—Sx + 12\ •• ' '•

Remarque. •— La branche BAF, qui va d’un point B de l’axe des x .à un autre pointF de ce même axe, a évidemment un point particulier dont f ordonnée est la plut granit parmi les ordonnées cpmprises entre les points A et F. t

La branche MNP qui va de l'infini à l'infini, au-dessous de l’axe des x, a évidemment un point particulier, dont l'ordonnée est la phs petite

parmi toutes les ordonnées des points de la eourbe, situés entre les

points extrêmes M et P de cette branche. -

Nous étudierons plus tard krmoyen de déterminer exactement la position de ces points particuliers dont on soupçonne ici l'existence.