V. Soit à construire la eourbe.dont l'équation est

y = sin x.

Pour x =r: 0, y = 0 la courbe passe donc par l'origine.

Pour toute, valeur de a: de la forme x = K.tt, y =0; donc si l’on partage F ale des x à partir de l’origine 0 en parties égales à w aux points A, A’, A", A,, À,'..».,, ces points sont ceux où la courbe rencontre l'axe des <r. .; .- ..

Pour les abscisses comprises entre 0 et À ; A’ et A", de deux en deux, les ordonnées sont positives; au contraire les ordonnées sont -négatives de-deux en deux à partir des abscisses comprises entre A et A'.

La valeur maximum de l ordouuée est l’unité; elle correspond à

Donc si 0 = OP' = 1, la courbe à la forme indiquée sur la figure. VI. Soit à Construire la coürbe dont l’équation est :

Cette courbe ne part pas de l’origine 0, elle rencontre l'a*e .des y. au point A, tel que OA = 1. *•••*

Comme la courbe précédente, celle-ci rencontre l’axe des * aux.points dont les abscissés sont x = K-r. .•

Les parties de cette courbe, situées au-dessus et au-dessous de l’axe des x sont inégales et vont sarts cesse en se rapprochant de l’axe des x.

La valeur maximum de l’ordonnée est OA = 1 ; cette valeur maxi mum ne se présents qu’une Seule fois et à l’origine.

VIL Soit il construite la courbe dont l’équation est :

croissantes en valeur absolue, y va x = — pc , y = d.

Supposons a > 1 ; pour x = 0, y = 1, si donc l’on prend 0A= 1 on a en A un point de la courbe Pour ries valeur*, positives et croissantes de ai,- -y Vj* sans cesse en- croissant ef pour x~tx> , y =oo.

Pour des valeurs négatives et constamment en dimimuant pour

La courbe rencontre l’axe des x à l’infini pelle a la forme ci-contre.

Si a est < i, on trouve la même, courbe' placée d’une manière différente. '

Equation polaire de l'ellipu.

rectangle MF'P nous donnp :

. ÿoit M un |K>int quelconque de l'ellipse, prenons l’axe A'A pour axe polaire et le foyer F' pour pôle.

Albrs les coordonnées polaires du point M sont :

MF’=t angle MF'x=0.

Ceci posé, le triangle

F'P ou (* + ey=srcos4.

Et puisqu'on a trouvé plus haut :

MF 1 = a + ~.

On a par substitution les calculs suivants :

c ( r cos 0 — c ) r = a -r- .

a — r cos S a — c cos i

1 4- - cos 0 a

Et en représentant — par p et - par e, il vient :

t — e cos 8

Telle est l'équation polaire de i ellipse.

Dans cette équation, e est < 1.

Équation polaire de la paraboli.

Prenons l’asc Ax pour axe polaire et le foyer F pour pôle, alors M étant un point quelconque de la courbe, les coordonnées polaires de ce point sont MF = r, angle MFx = 0.

Le triangle rectangle MFP donne :

FP ou (as— |) — r cos 0.

Et puisqu’on a trouvé :

MF = x -t-

On a par substitution les calculs suivants :

r = | .4- r cos 0 4-

t — co s 0

Telle est l'équation polaire de la parabole.

ANALYSE

liquation polaire de l'hyperbole.

Eli suivant la môme marche, on trouve pour équation polaire de l'hyperbole, l'équation :

r t — t cos S‘

tr> . r

Dans laquelle p représente le rapport — - et e le rapport Dans cette équation le rapport « est > 1.

Démarque — Des trois équations polaires que nous venons île trouver, il résulte que l'équation générale :

I — e cos b

représente l'ellipse, ou la parabole, ou l’hyperbole suivaRt que le nombre t est <[ 1 , ou = i ou > 1 .

De la transformation des coordonnées .

Dans l’étude des lieux géométriques, il est souvent utile de changer les axes coordonnés, considérés d'abord, et de rapporter tous les points du lieu à d'autres axes, soit pour simplitier les équations, soit pour chercher à découvrir plus aisément les propriétés des figures.

La transformation des coordonnées a pour objet la recherche des formules par lesquelles on exprime les coordonnées qui se rapportent à deux axes, eu fonction des coordonnées relatives à deux autres axes.

Changements d'origine.

Proposons-nous d'abord de déterminer les formules propres à [tasser

Considérons ces parallèles comme <

d'un système d’axes coordonnés an système obtenu, en transposant les premiers axes parallèlement à eux-mêmes, en un point déterminé.

Soient yy' et a\r' les axes primitifs.

Par un point O' déterminé par. S'es coordonnées jt = OP et t/ = O'P, que nous désignerons par a ci li, menons des parallèles O'X et O’ y aux axes j\r' et yy\ e nouveaux axes.

Soit M un point do plan, vu point rapporté aux axe» primitifs .va '■ ot y y a pour coordonnées : ,

x = (Ht, y =: MD.

Ce même point rapporté aux nouveaux aies XO' et YO" a poOr coordonnées