I. — L’équation

montre que lé coefficient angulaire de la tangente est :

6V <Py'

Ce coefficient reste le même alors qu’on y remplace x' et y' par — x' et — y' ; donc : . .

Les tangentes menées à l'extrémité d’un même diamètre , de l'ellipse sont parallèles.

, II. — L’équation peut s’écrire ainsi :

ahj'y 4- fr’x'x = a *é*

Donc , les coordonnées à l’origine de la tangente à l’ellipse sont

— pour l’ordonnée et —7 pour l’abscisse,

L’ordonnée à l’origine est donc indépendante du grand axe et de l’abscisse x' du point de contact.

L’abscisse à l’origine est donc indépendante du petit axe et de l’ordonnée y’ du point de contact.

Arrêtons-nous à celte dernière propriété; elle noua fournit une construction très-simple, pour mener une tangente à l’ellipse en un point donné de cette courbe.

Soit à mener la tangente en un point M d'une ellipse dont les aies sont AA' ou 2a et BB’ ou 26.

D’après la seconde propriété que nous venons de reconnaître : pour tous les points de la parallèle P/, situés sur des ellipses ayant pour grand axe AA’, les tangentes en ces points auront mèmè abscisse à l'origine ; donc le point U de cette parallèle située sur le cercle de diamètre AA' ( lequel cercle est une ellipse dont les deux axes sont AA' ), jouit de la même propriété.

Or, si l’on mène la tangente UT au cercle de diamètre AA', son abscisse à l’origine est OT, par suite OT est l’abscisse à l’origine de la tangente inconnue menée ft l’ellipse au point M.

Donc, en joignant MT, on obtient la tangente menée à l’ellipse au point M.

Relation importante.

Sur les deux axes AA' et BB' d’une ellipse, décrivons des cercles concentriques.

Par le centre O, menons un rayon quelconque Omm', lequel coupe en m et m' les deux cercles. On sait que les parallèles menées de ces deux points aux axes, déterminent par leur intersection un point

fii

M de l’elüpse, et l’on a :

MQ A m'Q o

On sait en outre que si l’on mène les tangentes au poiut in du cercle de diamètre 2 a et au point M de l’ellipse, ces deux tangentes se côuperont en un même point T de l’axe AA'. Ceci posé, menons la normale MN et désignons par ? et l les angles BOm' et MM .

Les triangles rectangles MQ f et m 0 1 donnent'

MQ=QT.tg6TM=Æ

m'Q = QT tg OTm’ = QT . tg » . .

D’où par division :

MQ 1 .

m'Q — tg l tg *’

„ . MQ b ’ • •

Kt enfan, puisque -, ( j = -• -

Telle est la relation cherchée.

Relation entre Ut angles gue jorment arec U grand axe et avec h petit ame, Ut normale el le rayon d’un même point Je L ellipse.

Soit M (a-’, y') un point de l’ellipse, menons la normale MN et le rayon OM de ce point.

Appelons I et « les angles (pic font ces lignes MN et OM , la première avec le grand axe et la seconde avec le petit axe.

L’équation de MN a