IJ

«w U-» oftmnfa'lrt i

pour coefficient angulaire :

I(W> **♦> sh

.■^9 ac

rrfffi (g |s

AV

* L'équation de 0M est y — ^ x.

donc :

coig» = |r (2)

D’où en divisant (1) par (2) if vient :

tg i tg «

Telle est la relation cherchée.

l'aïeul d’un rayon de l'ellipse.

■Soit 0M le rayon de l’ellipse correspondant A un point quelconque M dont la normale MP fait avec le grand axe un angle MPA que nous appellerons l.

Appelons » l'angle MOB du rayon <0M avec le petit axe.

Les coordonnées du point M étant x’, y’, on a sur la figure, en appelant R le rayon OiM : ' , ,

y' = Rcœ m , x'=Rsinw.

Le point x', y ’ étant sur l'ellipse, on a :

«y* -+- fcv*'<= oV. '

Et par substitution : t ,

"" (a’ cOs’ • 4 -6* sin 1 » ) R* == a*6’.

D’où l’on tire : . •

a 1 co p 7 » -t- 6 2 sin* »

sin*« (l-f- col*

ANALYSE

Or, la relation ■:

donne :

Et par suite :

tg/tg« =

tg m =

b* tg i

eo^.= *Ü5l'

a* . tf'-t-'é 4 tg 1 1 ‘

En sorte que l'équation (1) devient par substitution et après réduction :

k? - ?-t t4 K 1 ri)

• * -h 6 1 tg 1 1 [ )

Appelons t le rapport — ; alors, puisque

o* — 6 5 =c J , on a i 2 = à 1 — c*:

• Et par suite * -

'L’équation (2). devient donc par substitution :

, 0 4 + a 4 ( W)«tg«f •

a’+o^l— e>) tg* t '

Et successivement : '

R’ cos’ l + a 1 ] 1 — e’ )* sin’ l

• ^ * 1 crtP'l+fl' — é*)sin*r .

■ , ' : d*T i — sin» l' 4- ( t + e 4 — 2r»)»in , 71 J ' ' '

1 — sin’ f-4- sin 2 / siu’ < “ ,

• n* [1 — gt 2 sitr 1 i •+■ e‘ sitl* l ]

• ' ’ 1— .«*sîn*f , ' •

En. développant le quotient du second membre, on a :

R , = a * ( 1 — <«?sro*i — e 4 sm 4 < — e 8 sin*/ — )•

Et finalement :

R = a \/ 1 — e‘ sut 1 / — « 4 sin 4 1 — t 6 sin 8 1 — .....

Telia est l’expression d'un rayon de l'ellipse.

• c \/ a 1 - "fr?

Rtmarqut. — Si le rapport e == - = est sufiisamment pe-

lit, on pourra, dans le développement do R, négliger les puissances de e, à partir de la quatrième inclusivement.

Dans ce cas : ....

. . , ^ ^ a .y/l — e î -sin 3 i.