DÉRIVÉE HT DIFFÉRENTIELLE

Lorsque Jes valeurs d'une quantité variable deviennent de plus en plus petites et tendent vers la limite zéro, on dit que cette quantité devient un infiniment petit.

Upe quantité infiniment petite est indéterminée et ce qu’il importe de savoir sur une telle quantité, c'est que sa limite est. zéro (*).

L’étude d'une quantité infiniment petite , prise isolément, ne présente aucun intérêt; mais si l'on considère deux quantités infiniment pétites dont l'une dépend de l’autre, c’est-â-dire dont l'une est fonction de l'autré, leur rapport, alors que toutes deux tendent vers la limite zéro, tend Vers un© limite généralement /înic et déterminée.

En effet, considérons une fonction de x, yxzf[x). L’équation y—f[x) . représente généralement une certaine courbe AB.

Considérons utrpcdnt M • de cette courbe, dont les *• "coordonnées sont x et y.

St l’on donne à la variable x , un accroissement PP’==A ; l’abscisse x •• ou OP va devenir OP', et généralement oh trouvera • sur la courbe un point M’

• ayant pour abscisse OP’, u4 ©n sorte que pour l'ac-

croissement PP' donné à la variable x, l'ordonnée y a pris l'accroissement

[*) Une quantité infiniment petite peut -provenir d!une quantité tres-graude : telle est t’ordonnée d’une droite oblique sur l’axe des x ; cette ordonnée qui pejit être Ifès-çrande devient intinimént petite dans le voisinage du point où la droite renfcontre l’axe des ri

correspondant M'H. Appelons h l’accroissement de x et k {‘accroissement de y. «

Les coordonnées étant supposées rectangulaires, le triangle M MR nous donne :

î = tgM'MR

Si le point M' se rapproche, indéfiniment du point M, leq quantités k et h deviennent infiniment petites et l’équation (l) ne cesse d'avoir lieu quelque voisins que soient les deux points M et M’.

Lorsque les deux points se confondent, la. sécante MM’ devient la tangente MK menée en M à la courbe et l’angle M’MR' devient l’angle KMR, donc lorsque k et A tendent vers la -limite zéro, l’équation (1) devient : ’ • . .* ‘ V ’ •’ *

limite ^ — tg KMR. '

La limite du rapport - est donc une quantité généralement finie et

déterminée. , ....

Je dis généralement finie et déterminé «; par la tangente de l’angle L’MX, c’est-à-dire de l’angle que fait avep Taxe des x, la tangente en tm point d’une courbe, peut être finie, nulle, infinie ou indéterminée. :

• Si la tangpnte à la courbe est oblique sur l’axe des x, la limité est une quantité finie,

Si la tangente à la courbe est parallèle à l’axe des x, limite £== 0.

Si la tangente à la cèurbe est perpendiculaire à Taxe des x, limite

Si la courbe se réduit à un point, comme on l’a vu pour l’ellipse, la