AO
tangente en ce point est indéterminée et dans ce cas limité r = ».
DÉeiSITIOS DE Là DÉBITÉE DISE FONCTION,
La limite vers laquelle. tend le rapport de l’accroissement d’une fonction, à l’accroissement correspondant de la variable, lorsque cehii-ci tend vers zéro, est appeléo la dérivée de cette fonction.
Nous conviendrons de désigner par i-ft, l’accroissement donné à une variable ou à une fonction u. . . „
Si donc, l’on appelle y une fonction de x, et si l'on donne à fe nn
certain accroissement ; non» appellerons 'ax cet accroissement; la variable x prenant l'accroissement ax, la fonction y en prendra un correspondant que nous désignerons par Ay; en sorte que si l'on appelle y' la dérivée de la fonction y, on aura, par définition,
lim = y. ax y
LOI DB FORMATION db LA DÉRIVÉE' d’p»* FOKÇXIO!* rvnÈRB.
fioit une fonction entière de x ;
• - {1)., j/=Ax-'-f
Donnons à x un accroissement ax, et soit Ay l’accroissement correspondant de la fonction y, nous aurons !
(2). . 1 . ...... y 4- Ay = A ( x -t- ax )" 4-
Les équations (t).et (2) donnent par soustraction : •
Ay == A (x 4- AX.)" — Ax" 4-..-J.
Et si l’on développe le second membre au moyen de la formule do binôme, on a :
‘ Ay Ax"~‘ Ax 4- ^ a — Ax" -1 (Àx)*q- . . . . .
par suite . .
* V ±afn.Ax*-‘4- — - Ax*— 1 1 AX4-
ax- ' 1.3
Et en passant à la limite ax = 0,
y’ où lim =s m. kx n —
&dC 1 .
Ce résultat montre que.: , • * •• • ■;
La dérivée d’une fonction entière /‘obtient- en multipliant chaque terme de celle fonction par l'cxpoiant de x dans re derme et en retranchant une unité à cet exposant, après la multiplication. .
’ Ainsi, les dérivées des fonctions entières : . . ,
sont :
- Il résulte de cette .loi de fbfmation, (pie la dérivée d'une quantité constante est zéro, car dans une constante l’exposant de x est nul.
Remarque. — Sort y une fonction de se, f(é) ; désignons par f ' (x) i dérivée, nous aurons par définition
En sorte que l’on pourra poser
ay
s étant une quantité dont la limite est zéro, alors que ax tend lui-méme vers cette limite.
