DE QUELQUES THÉORÈMES STR LES FONCTIONS ET SUR LEURS DÉRIVÉES

Définition. — On dit qu'une fonction f(x\ est • croissante dans le voisinagetd’une certaine valeur de la variable, lorsque pour un accroissement positif infiniment pelit doitné'.à la variable, à partir de celte valeur; la fonction augmente. • . • ", *• T ;

Théorème I. — Suivant que la dérivée d'une fonction est positive ou négative, la fonotion est croissante ou décroissante.

Soit une fonction fi(x) dont la dérivée est pour un accroissement A de * on a ; - * ‘ .

f[sc + h)-f(sc)=htr.(x) + '

c s’annulant avec A. * ' ‘ ••••».. >

Ici, nous supposons h positif et infiniment petit ; alors e est lui-même infiniment petit, donc le signe de f' (x) -t- e est celui de f' (x). Et puisque A est positif, il en résulte que le' signe de h\ fi (x) +. 1 ] est aussi celui de f ' (x). - * ” ■ v •

Donc si fi (x) est positif, f (x -+- A ) — f{x) est 5> 0 , c’est-à-dire que f(x + h)>f(x); au contraire si est négatif, f[x -h h ) — f far), est’ <0, c’est-à-dire que f J x H- A Xff*)-.

Donc si fi (.r) est positif f(x) va en croissant ; et si fi (x) est négatif f[x) va en décroissant. ,

Définition. Une fonction est dite continue, lorsque pour des accroissements infiniment petits de la variable, elle prend elle-même des accroissements infiniment petits. ,, -

Théorème II. — Lorsque four une valeur finie de lu r iriable, une fonction ut finie et a une dérivée finie, la fonction est continue.

Soit une fonction f (x), pour un accroissement A de la variable, la fonction f[x\ prend l'accroissement f[x + h ) — f (x), et Ton a :

Si f ' (x) est finie et si A est infiniment petit, < est .infiniment petit ; par suite /* (x) 4- s est une quantité finie et le produit A [ f (jc> -t- /] est une quantité aussi petite' que l'on voudra; doue l'accroissement f(x + fi)~-f[x) de la fonction f(x) étant infiniment petit, celte fonction ei»l. continue. * . »

La réciproque de ce théorème e»t fausse. *

• En effet, 1 égalité . L

montre que si à la limite A =x 0, le premier et le second membre sont nuis, il n’est pas nécessaire qee f [x] soit finie.

Théorème III. — Si pour toutes lu veifkurs que l'on peut donner d la variable dans l’intervalle, de a à b, une fonction conserve toujours la mem« valeur * sa dénuée ut constamment nulle pour Us valeurs de x comprises ,

En effet, soit -une fonction de f, f(x), appelons / la valeur de cette fonction; l'équation y ==/(x) représente géomélriqüe- ^ t . , ' ' . • nieht une eourbe dont les

o .a . • . points ont pouf ordon» *

: . nées les * valeurs de la

. ■ fonction, correspondantes

aux abscisses de ces pointa et pour une valeur particulière de x, V» r tangente au point correspondant fait avec Taxe des r, un angle dont la taùgente irigonométi ique est f (*]•

Ceci posé, Soient OA et.OB les valeurs de x- entre lesquelles la fonction conserve upe valeur constante et. soit AM cette valeur constante.

Dans l'intervalle de OA et 0B, la coarbe.doilt l'équation est/-(x) se ■séduit à la ligne droite MN- parallèle à l'axe des x. • - '

. Or, pour tout point de cette droite, la tangente se confond avec MN,

entre a et ...

çi puisque MN est parallèle à l’axe des x, il eu résulte que pour tout point de cette droite, on a :

Réciproque de ce théorème. — Si pour toutes les valeurs de la variable x, comprises entre a et b, la dérivée d’une fonction est constamment nulle, il eu résulte que dans l’intervalle de ces valeurs, la fonction reste constante^

Soient OA et OB les valeurs de tr entre lesquelles la- dérivée f (x) de là fonction /'(x) ést constamment nulle.

La tangente à une courbe -en un point étant- le prolongement de l’élément rectiligne infiniment petit, dont se compose la courbe en ce point, il en résulte qu’entre OAct’OB, les éléments reelilignes de la courbe y = flx) sont tous parallèles à l'axe- des x. Or, entre OA et 6B, la dérivée f'{x) est nulle, c’est-à-dire finie, il en résulte' que ta courbe y = f (x) est continue entre 0\ et OB. Doue, entre OA et OB les éléments rectilignes de la courbe sont situés sur une même parallèle à l’axe des x-

C’est-à-dire que si MA est l’ordonnée de la courbe pour x = OA, la courbe entre OA et OB se réduit à la parallèle MM; son ordonnée f[x) est donc, constamment égale à MA dans l’Intervalle des valeurs de x comprises entre OA et OB.

Théorème IV. — Si pour des râleurs de la variable x, comprises dans . {'intervalle de a d b, deux fbnetions ne différent que par une oanstante,

leurs dérivées sont constamment égales -po\tr les râleurs de la variable

comprises entre les limites a et b.

Soient OA et OB les valeurs de x entre lesquelles deux fonctions de x, f[x) et F (x) ne diffèrent que par une constante.

Appelons y. et Y les valeurs de ce.vfonctionS.

Les équations y-= f [tc), Y = F [x) représentent deux courbes MN, ‘ M’N', et pouf des valeurs de x comprises entre OA ’et- OB, lâ différence Y *— y est constante. ’ * • .

Ceci posé, soit OC une valeur de x comprise entre OA et OB; à l’abscisse "OC correspondent les points M et M' situés sur les courbes MN et MTr.

Pouf un accroissement très-petit CD donné à l'abscisse, on obtient les deux nouveaux points N et N' de ces Courbes; et par hypothèse, on a :

- “ • MN' ou - N'D — ND = MM' ou ' M'C — MC,

CD étant infiniment petit, les éléments MN et M'N' des courbes peuvent être considérés comme rectilignes; en sorte que ces éléments prolongés sont les tangentes menées aux courbes en M, et M'. Donc, si i’-o» mène

les parallèles M a I' et .MI A l’axe des .r," on 4 : ’ ■ •

(’ (*);= i e N.AJI, ' F' («) = ig N'MT. . '

Or, les.lignes MM' et NX' étant égales et parallèles, la figure MM'NN’ est un" parallélogramme, donc M Y est parallèle à. M.V. '

Les angles N M'I et NMI ont donc leurs côtés parallèles et dirigés dans le méme.scns; ils sont donc égaux", et par suite :

• • • rM = F' {*).'■

Réciproque de ce thiorèmec — Sipour des raJeurs'de X coin prise s entre a et 6, tes dépitées de déni- fonctions sont constamment égales, les "fonctions ne diffèrent que par une constante pour les râleurs de x cvmprists entre

Soient f' [x) et F' (x) les dérivées de deux fonc-.

tions f (,r) et F (.r). On suppose que pour des valeurs de æ comprises entre OA et OB, dn ait constamment

Je dis que la différence F (ar) — f(x) ou la différence Y — y de6 ordonnées des deux courbes Y = F (ar) et y — f[x) est constante entre OA et OB.

En effet, poiir une valeur de x, OC comprise entre 0 V et OB et pour 1111 accroissement CI) infiniment petit de x, on a les' points M, N sur la première courbe et M’, N* sur la seconde J. en sorte qu’en menant les parallèles MI, M F à l’axe des ,r> orna :

f'(x) — tg N’M'I', ‘ F' (x) = tg NMI.

, Mais : • . f' {x) — F' (x)^ . . . ‘ •

Donc : ' . YM 'F = XML

Par conséquent, puisque les côtés MI et M'I' de ces angles sont parallèles, il en résulte que les autres côtés MN et M'Y «font, aussi parallèles. . . . ‘ •

La figure MN.M N. est donc un parallélogramme, d’où il suit : .

u Si - n y,

c’est-à-dire que ’ • . ■ ••

* ■ Y y on ’ F(x) — f (jr)‘=constairte.

ANALYSE. • • 10

les mêmes lineites. , * •