U| AC» B X

Différentielle d’une fonction. — L’équation '

obtenue ci-dessus , donne': ' -

‘ Ay = /■'(*). ax > e . A*

Lette équation montre que Ay, ou l’accroissement d’une fonction se compose de den* parties; l’Une f' (x).A-r qui est le produit de la dérivée delà fonction par l’accroissement de ta variable et l’autre s. ax.

Le produit de la dérivée* d’une fonction par l'accroissement de la variable s’appelle la ilifféri n ■ Mie de ta fonction.

, L’accroissement de la v variable étant indétesininé . et ayaiit pour limite-zéro, il en résulte que la différentielle est -elle-même indéterminée et a pour limite zéro.

Sur la figure, on voit que MB étant la courbe dont l’équqtion est y =f (x) et PP' étant l’accroisMnient de l’abscisse OB ou x; Rj est la différentielle, car on a :

Rl = Ml tg 1MR = Kx.f x)

, Eu sorte que M'R est rAx. - • . # .

Différentielle de la variable. - — Si l’on considère ta fonction entière y xr, su dérivée est mz*" 1 ; sa diffêijeiitielle est doue :

mx"~"‘.. ax. . .

Et dans le cas où m = 1 ; cptte différentielle (pii est la différentiellede x ( puisque y = x ) devient &x ; donc : ’*

Ln différentielle de la variable est l’accroissement même de cette variable. ■ * •

.Xotalion différentielle.. — La différentielle d’une fonction se’ désigne en mettant d devant cette fonction ; ainsi, une fonction étaut représentée par f(x) ou y, sa différentielle sera désignée par la notation :

d.f[x) ou .Jy.

Eu sorte que lu définition de la différentielle donnée ci-dessus, s’é

cnra ainsi :

rfÿ f (x) àx. • ■

Ou bien, puisque Ax = dx,‘

dy = f (x) dx.

Celle équation donne : .

On emploie souvent la' notation

dy = . dx.

J dx

il no faut pas y avoir une identité.

Oq doit, dans ce cas, regarder ^ comme une expression qu'on ne

peut jamais séparer et qui représente la .dérivée. «■

On verra bientôt que cette notqtion, alors que $ ne sera plus une variable indépendante, deviendra l'expression d'uri. lliéorépie important.

ÇtmsiiUralim sur la différentielU. — Si l’on considère une quantité et si l'on imagine la suite de ses valeurs dans la continuité ki plus intime de cette quantité en partant de l'état zéro : le premier état de cette quauTitè, c’est-à-dire la première valeur, qu'elle prend est la différentielle de cette quantité. • . • .

La différentielle est donc en quelque sotte le passage de- ce qui n'est, pas à ce qui est. Unetelle valeur, échappe à oos’ sens'; elle est indéterminée et si l'on veut l'apprécier on doit la considérer comme nulle.

La notation d-qui la représente est une chose purement fictive, la- ' quelle permet de conserver dans le calcul et de soumettre aux régies du calcul, des quantité* dont l’appréciation est impossible, mais dont les rapports donnent dos résultats. appréciables et de la pins haute importance. • *

Expression générale de l'équation de ta tangente à une courbé algébrique,

L'équation d'une courbe étant y — f\x) représente le coefficient angulaire de la tangente à cette courbe; en sorte que l'équation de là tangente en un point x’, ÿ' de celte courbe-est : * .

Ou d’après la notation différentielle :