PRINCIPES DES PONCTIONS DE FONCTIONS
Jusqu’ici, en considérant une fonction
nous y avons supposé que x fût la variable indépendante.
Considérons actuellement la fonction :
« étant une fonction de x, et soit
On a par substitution : '•
y = f[ Fl a - ) ] == une fonction dq a» ; soit.ç x.
On dit alors que : y ht une. fonction de fonction.
Si dans la fonction u = F (.r), on donne û x ho accroissement xr, la fonctiori u , prend un accroissement correspondant au: et ‘puisque dans y — /■(“). « est la. variable, la fonction y prendra elle-même un certain accroissement ai/, ** -
Les accroissements au et ai/ convergent vers la limite zéro, lorsque ■ l’accroissement arbitraire Air -de la variable indépendante X, converge vers celle même limite. •
Ceci posé, on a identiquement : *. >. • •
v ay àÿ au . , .
. Aa: Au.’ Aai •
Kt si l’oii passe £ la linrite de m, il tient :
Or liin dérivée de y ou i (a) prier par rapport à x — t (x).
• lim -- ■ = dérivée de y ou- f(u) prier par rapport à h == f (»). lim — ■= denr ée de u ou F (x) prise par rapport à x = F’ (ar). L’équatipn (1) devient donc par substitution.: * - •
C’est lit le principe des fonctions de fonctions.
Il exprime que r la dérivée priser par rapport A * d’une fonction de fonction est égale au. produit des dérivée» de chacune des fonctions prises respectivement par rapport aux variables qui entrent dans ces fonctions.
La différentielle d'une fonction f («), u. n’étant pas h variable indépendante, est égale au produit de la dérivée de la fonction f (u) prise par rapport à u, multipliée ppr la différesUieHe île «, comme n u était la variable indépendante. -
En effet, soit une fonction de fonction • •
y=ft*)-' *=f(«). ' . . . v
y étant représentée par tp [x), on a : • v . j
»’(*)= rw- f- ( x).
Et par suite en multipliant par dx
, ' % (xj i dx — f (h) F’ (x) . dx. (1)
Or par définition, puisque x est la variable indépendante dans les fonctions y = ç (x.) at u = F (x), • •. ; « «• ..* *
On a :
dy = s)' (x).dx et du = ¥' ( x).di i.
L’équatioif ( 1 )" devient donc par substitution :
On voit donc ëucore, par. cotte éipiation, que : u n’étant pas la variable indépendante, la différentielle de la fonction f(u) s'obtient aussi en multipliant, la dérivée de f(u) prise par rapporté u, pat la différentielle de n. . . .
Extension du principe des fonctions 'de fonctions à un nombre quelconque de fonctions dépendantes les unes des autres. . .
Soit : . ... ’ .
• .*• ■ y = f[u], « = F (ti e = 4 (xjv ' * ’ ’ ’ ’
y est une fonction de x que f appellerai p fxj, et je dis que l’on aura encofe :
»»=r («) • f- ( ti) . 4 .; (x). . ’
En effet, appliquons le principe qfie nous venôrt» de démontrer, sur
lê diftorepueLU d'un* fonction dont la variable n’est pas indépendante atu fonctions ■ . : .
Nous aurons :
En multipliant Et par suite :
dy= f‘[u).du (a)
**,= ?'{»).. de (é)
de ;= jj.' (x) ,dx..., (c)
fera à membre ces équations, *1 vient
dy=f(u).F.'(o)..\,'{x).dx.‘
dx-
Mais
Donc enfin :
tri*'''.'
Extension de la notation différentielle.
Si comme dans ce cas, on a plusieurs dérivées à considérer provenant des fonctions :
Au lieu de les représenter par f (u), K’ ( 4 ! (x) comme nous Tarons fait, nous les désignerons par les simples notations ^ , — ,
■en sorte que les équations («), (A) et (e) s'écriront ainsi i .
rfy “ il (*> ■
du= d £. de. ...... (ej
dv = ^ dx ' (/)
En multipliant membre à membre ces dernières équations, il vient : , du du de
d >~du Tv'tx 4 '-
d’où :
d y __ d y du dr
d#"~du : de‘ dx]
C’est là l'expression du théorème général de» fonctions de fonctions, il faut bien se garder d'y supprimer les facteurs communs; non plus que dans les équations (d), (s), (f), lesquelles représentent ainsi un théorème et ne représenteraient rien du tout après la suppression des facteurs. •
Extension des théorèmes III et IV aux différentielles des fonctions.
La différentielle d'une fonction étant le produit de la dérivée par ^accroissement arbitraire de la variable, il en résulte que :
1* Si une (onction, dérivée s'annule pour des valeurs de x, comprises entre deux valeurs a ét 6, la différentielle s'annule dans le même intervalle et réciproquement.
2* Si deux fonctions dérivées sont égales «laits un certain intervalle, les différentielles sont égales dans le même intervalle et téciproquemeat.
On peut doive dans les théorèmes III et IV remplacer les dérivées par les différentielles. • . ’ . • '
RÈGLES DE LA DIFFÈBENTUTION DBS FONCTIOKS EXPLICITES d’cNB
; - selle variable. ,
Une fonction, est dite explicite, lorsqu’elle est résolue par rapport A la variable, telle est y = f[x). •
Une fonction est dite implicite, lorsqu’elle n’est pas résolue par rapport à la variable, telle est la fonçtiop y de <r, donnée, par l’équation
Avant de passer outre, remarquons que. chercher la différentielle ou la dérivée d’une fonction est le mémo problème ; car la différentielle d'une fonction dix étaut trouvée,’!! suffit de la diviser par dx pour avoir ta dérivée.
Théorème I. — La différentielle d'une somme' de fonctions es t égale A ta
somme des di firent Mes dé Chacune des parties de la somme. '
[Le mot somme doit s'entendre algébriquement. ) • v
Soit . - •
(I) f 1 — u -t - 1 tes- ........
une somme dans laquelle u,'p, u>, sont des fonctions de m: y est
alors une fonotion .de ac. • s
Si l’on donne à x l'accroissement Aar, les fondions u, », t»,..„..r. y, deviennent: • , ...
•*' • u 4* A“i ® + Àv, tc-f-.it»,.....;: y +•' Ay,
et l’on a
(2) y -H Ay = u + au -t- v -H At> + t» -I- a«» 4- •
D’où:." *
(2) — (1)..: Ay = am ■+■ a» -f- Ato -t-
Et en divisant de pari et d’autre 'par \x . . ■ . .
• Ay .A« A» At»-^ .
j . , , •• A«B- AX • AX. * ’ AX v t •
Et à la, limite, il vient :
■ . . • - rfy^'d** </». (iv> • ’ -
’,.dx dx dx^dx- "" v .•
D’où enfin, en multipliant par dx afin <f introduire- lEs différentielles : dtj = du 4 - de 4 - rfir..,..
Théorème II. —, La différeittieHe du produit d’une constante par une fonction est égale au produit de cette constante par la différentielle de la fonction. •
Soit; y— .a.u.-.j..;, . (Il K • ' .
u étant une fonction de x Tel ri une constante. ” ,
En donnant à x l'accroissement 4 -r, les fonctions u et y prennent le» accroissements A«,'Ay, et l'on a :
ÿ -+- Ay r±?à {■ u -4-' au ) •... (2)
D’oà
(2)‘-i(l) Ay = o.'au. *
Par suite :
Et la limite
ay a« .
*• Aar •> * aj*’ r- ‘ - *
r/y du
jlx, ’ *’ îr"
D’où - . . • .
. dy = a. du.. ....... (3)
Remarque. — .Si n = — 1, y devient — u et l’équation (3) donne dy eç — du. r e »
Donc, si une fonction change de signe, /a differentMU ctiange.de signe.
‘Thkobkhk 11 } — La différentielle d'un produit de plusieurs fonctions d'or,, etl égale à la tomme des produite det différentielles dt chacune dee fonctions , multipliées par le produit det autres fonctions. , e .
.Considérons d’ai>ord un produit de deux fonctions
En donnant à x l’accroissement sx, les fonctions u, r et y prennent les accroissements correspondants :,au,' a® etay, et l’on a :
ou bien :
D’où.
.. V -f Ay = ( u au ) ( v -f- ),.
y 4- Ay = ne + ». Au 4- u. Ar+ au. AP.
Par suite :
■ ( 2 ) — U}" ;• Ay = t). AU -+7 tl. Ae + AU., A*.
ay au , . *t> .. a»
— — i- u. “ — (- au — .
àx a « m a x
Ct en passant à la limite, il rient :
dy du ebs *' <£Ë
tlv v
+ dï (î)
Car dans le produit — . au, le facteur au devient nul et le facteur
Ax *
At>
AX
devient la dérivée de r.
L’ équation |3) dçnne enfin : *. •.
• • . • du = v. Hu -+- u. dt. ■
i Hnnarque sur h firme particulière du quotient de la différentielle d’un produit dicisét par ce produit.
Kn divisaiTt par ue ou y, les. àeux membres de l'équation r\é ■’ ... v <Jy t=t\ du -t- «. de, s
on a :
(ly du
C'est-à-dire que .-le quotient de la différentielle d’un produit de fonctions
XXM.TSE 4* .
de x, dittié» par te produit est égal à la somme det quotient» de t différentielle» de chacun det fadeur» diviser» par ce» facteur». •
Ce principe s'étend à un produit d'un nombre quelconque de facteurs. - • * • • •: • * . ' >
En effet, supposons cè principe vrai pour un produit
de « facteurs; je dis qu’il est vrai pour le produit
* ' . ’ ¥*= *. e. te d t. K, ••
contenant on facteur de plus.
Le principe étant vrai pour le produit * • '•
f/u dv
Or;
Et puisque ce produit n'a que deux facteurs, nous aurons, d'après la remarque du théorème II,
uTY
Et à cause de (a), d Y
du dv dm
dt -x. *
Le principe est donc général, car étant y rai pour deux facteurs,' il est rai pour trois ; vrai pour trois, Il l’est pour quatre, et ainsi de suite. L’équation (6) donne, en chassant le dénominateur Y, . . • • -
rfY = du. 1- dv. h die h
u e te .
Et ainsi se trouve démontré pour un nombre quelconque de facteurs le théorème II énoncé ci-dessus.
Théorème IV. — La différentielle <Tunt puissance ( de degré entier et positif ) d'une fonction de x, est (gale : au produit de Ç exposant de cette puissance par la fonction élevée à une puissance d'un degré moindre d’une unité multiplié pur la différentielle de cette fonction.
En effet, considérons le produit de m fonctions de x.
. ÿ = U. V. IC....... I.
On a, d'après la remarque établie ct-dessos,
du — du. - -h dv. - -t- dw — + ....... -t- dt. ï..
Et si l'on suppose I = u> = u = e, on a :
Et par suite : '
dy — m.W*- 1 . du.
Extension du principe du”== mu™ -1 . du pour un exposant quelconque. Supposons m fractionnaire; et soit ,
tf rr- U *
En élevant à la puissance q de part et d'antre, il vient : D’où en différentiant :
q p il. = u .
q.g .dy.— p. u r du.
Cette équation donne successivement:’ '
dy = t . *
du. .-vi f :•
ri.
— du
Si m est négatif, soit
Celte équation donne : .
Si
Èt si l'on applique 4 cette équation le principe de la différentiation d’un produit et d’une puissance, on a successivement :
W'.dy 4- y.rnu m -' du = 0.
‘ , dy^-m.**—4u. * .
dy — — ^
Théorème V. — - Différentielle d'ijn radical-
Soit u une fonction de x; et soit • ....
En élevant à la paissance m de part et d’autre, 'fl viènt : ’’
Et en prenant les différentielles de part et d'antre m. yr"‘. dy =. du.
. m. v «““‘-dy = v
Ou bien :
D’où :
d ÿ si i“ '
Telle est la différentielle de -v/“ ■ '* •’ ,
Dans le cas où m = 2, \J u== \/ u et la formule (1), dévient :
C’est-à-dire que : la différentielle de la farine carrée d'une fonction de x al égale nu quotient de la différentielle de Ut fonction divisée par le double de la racine de cette fonction .
On peut remarquer qire\/«t = u“ et l'on rentre dans le cas précédent.
Remarque. — L'expression : . ■ <
d (u.c.u; ) = tev du -+- u.te de -+- u.r.
. dut
montre que la différentielle d’un produit rérient à faire la somme des différentielles obtenues en considérant successivement dans ce produit
chacune des fonctions comme seule variable.
ThéoièME. — La différentielle du quotient de deux fondions de x, est égale : au quotient de la différentielle du numérateur multipliée par le dénominateur, diminué du produit de la différentielle du dénominateur multipliée par le numérateur, cette différence étant divisée -par le carré du dénominateur..
En effet, soit la fonction :
m et v étant des fonctions de x.
* L'équation (1) peut s’écrire, ainsi :
Et' en différentiant dé part et d'autre, il vient successivement : „ ‘ dg = t>“‘ du -h ( — 1 ). u.'v- 2 dv.
du u de
v.du — adv , •'
Remarque. — Si u est constant, alors du — 0 ; et l'on a :
U.dv
# Ni ’
De même, si v esC constant-, dv = 0 ; et Ton i.:
r u'\ du'
Si l'on ajoute les différentielles (2) et (3) obtenues en considérant
dfin» et ® successivement et séparément comme constantes , on a :
rf» u.dv v. du — u. de
C’est-à-dire, que la remarque faite ci-dessus sur la différentiel d'un produit s’applique aussi à la différentielle d’un quotient.
