DIFFÉHENTIATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

Différentielle de Log. x." 1 • »

Soit la fonction :

y = Log. x: . . .

Je donne à x l’accroissement a* et j’ai

y -H Ay — Log. ( je -t- A* ). . (*)

D’où :

Ou bien :

Et par suite :

(2)— 4y = Log. ( x + ax ) — Log. *.

Ay=Log. (l 4-

^9 LJ r

Posons ^ = a { alors quand ax convergera vers zéro, * convergera

vers la même limite ).

L’équation (3) devient donc :

Ou hien :

rx=~x ^-d + ri- J| = iLog|(l + ^{.

Si l’on passe à la limite de ax, l’expression (1 4 - x) K devient » , et l’on a : | •

. -, = - Lds. «.

Par suite : , • , , '

f(jp i t

dy ou d Log. x 5 = - ■ Log. e. •

Telle est la différentielle d’une fonction logarithmique.

Remarque I. -*- Afin de distinguer les logarithmes de Briggs ou 'vulgaires ( dans lesquels la base est 10 ) des logarithmes de Néper ( dans lesquels la base est e ), nous désignerons les premiers par la notation Log et les seconds par la notation log.

Dans les logarithmes de Néper log e = 1 , en sorte que l’on a :

d log. x=~.

Remarque H. — Sj l’on considère une fonction ude x, on aura d’après le principe des fonctions de fonctions :

d Log. u = ^ Log. e. d log. u = ^ .

En prenant les logarithmes d* un produit et d’un quotient, d’une puissance et d’une raeine et en différentiant les expressions obtenues, on arrivera aisément aux différentielles connues du produit et du quotient', d’une puissance et d’une racine. ' "•

Ihffirentielle de a X (a étant une constante ).

Soit la fonction . ,

En prenant les logarithmes népériens de part et d'autre, il vient

.log. y = x log. a.

Et en différentiant, on a : .

Q — dxlog. a. - '

■D’où :

dy ac a X log. a dx.

Si a == e, log. a = 1, en sorte que l’on- a :

. * . de x

dy = c dx, ■ — =e . •

C'eSl-à-dire que la dérivée de la fonction c* est cette fonction même. Le prinoipe des fonctions de fonctions donne :

d ( e“ ) e" du.

Différentielle de xC ( u et v étant des fonctions dé x).

Vif

Soit la fonction On en tire :

•log. y = e. 1 log. o.

.JAji

Et en différentiant de part et d’autre, d’après le théorème sur la différentielle d’un produit, i) vient successivement ; • , • .

du ' ’• ’ *

-S = t>. d. log. u -(- log. u. dv. i

du du . •

— = c. (- log. u.dv.

dy = v. n** 4 du + u v loç, u. ’dv. * • '

Telle est la différentielle cherchée. . ' ... .» , •

Remarque. — Si dans la fonction «*’ nous considérons successivement et respectivement u et c comme constantes.

Noos aurons :

y - f PT* * • . **..*•,! r *- ( V . * •.

v supposée constante....... d ( u v ) = è. n*’ -1 du.

u supposée constante d ( o” ) = u* Log. u. de.

La somme de ces deux différentielles donne précisément la différentielle de la fonction u v ( u et t étant ' toutes deux variables).

Différentielle de sin x

Soit la fonction y = sin x. . . . •• , * .(1 1 ■

En suivant la marche ordioaire pour Calculer In dérivée d’une fonction, on a successivement : • '.

y + Ay = sin ( x ix). . . . (2)

.(2) — (ii)... Ay = sin (x+a») — sinx=2eos s * n ■

2co.( Æ +- ÿ )s.n T

ou cc qui est la Même chose :

— = COS (x-h

AIV "2 ) ’

. sx

Et par suite :

dy •