VT^X

ANALYSE. |3

«Cl H

DinriuirruTioif d'une fonction de plusieurs fonctions explicites

DE Là VARIABLE INDÉPENDANTE.

Nous avons remarqué, dans la recherche des différentielles du produit d’un quotient et de u v que : pour obtenir la différentielle de ces fonctions, lesquelles sont des combinaisons de fonctions, il faut considérer successivement chaque fonction comme seule variable, les autres comme constantes, differentier dans chaque hypothèse et faire la somme dès-résultats obtenus.

Ce principe est général.

Soit à déterminer la différentielle d'une fonction f{ u, « ), u et v étant des fonctions explicites de x.

Désignons par y la fonction f(u, v).

Si l'on donne à la variable Indépendante x\ l’accroissement ax,- les fonctions u, v et y prennent les accroissements correspondants au, a®, Ay, et l'on a; .

ay = f(u + a«, r 4-A v) — f{u,v),

ce que l’on peut écrire ainsi :

Aÿ = /■ ( U-t-AU, tH-At>) — f[ U, DH-A») + f^U, «H- A v) — f(u, v). ’ La division par ax des dèux membres de celte équation donne :

Ay f[u+\u, r + Ac) — f[u, g-t-Ae) f[u, P + AC) — f[u, v ) A bc AX • • AX *

ou ce qui revient an même :

Ly f[u + lu, y+M')—f[u,v+\v) AU | f{U, v+&v)~-f{ U,V ) AT AX AU ‘ AX AO ' ’ AX - ' '

En considérant dans v et ac comme

Au # * *

constantes, alors la limite de ce rapport est la dérivée de la fonction f(u,v) prise par rapport à la variable u, comme si u était seule variable. Nous désignerons cette dérivée par (u, r).

De même en considérant u comme constante dans le rapport

f (u, ~~ f (“» c ) . j a jimite d e ce rapport est la dérivée de la fonc-

tion prise par rapport à c, comme si e était seule variable.

Nous désignerons celte dérivée par (J (u, f). L’équation (1) devient donc en passant à la limite de ax, ..

ày

. r . , du . \ dv

= f » («. «)• TL + U (*> •)■ JZ.-

Par suite, la différentielle de la fonction f(u, e) a pour expression :

d f(u, v) = f.' («, e); du fj (u, v). dv (a)

La notation différentielle appliquée aux fonctions dérivées f.' ( *, v ), f.' (u, v), nous conduit à écrire l'équation (a) de la manière suivante :

... , àf(u,v) , df(u,v) .

df[u, ») = du + -4ür- - dv •

dv

Ou plus simplement, en désignant f (u, v) par f,

i r=Tu du +l dv -

C’est ici qu’il faut bien se garder de considérer les expressions

comme des rapports ; le signe df qui y entre, n’y représente pas le if du premier membre, lequel représente la différentielle totale de la fonction.

Le principe que nous venons de démontrer s'étend à une fonction f[u, v, ta,...) d’un nombre quelconque de fonctions implicites u, e, ta,... de la Variable indépendante, en sorte que pour cette fonction, on a :

Remarque. — Si au lieu de la fonction f («,«), on avait eu la fonction f[u, x) on aurait :

df=, d l.du+^.dx.

Et en mettant les dérivées en évidence : - • ’

‘ . ’ • • <tf df du.iT •

dx du' d » . £c‘

df

Il faut bien remarquer ici que le du premier membre n’est pas le ^ du second.

Le du premier membre représente la dérivée de la fonction totale

f(u, x ) prise par rapport à x; tandis que le ^ du second membre représente la dérivée, prise par rapport à x, de la fonction f (u, x) dans laquelle on considère u comme constante et x comme seule variable.

Afiti d éliter toute confusion dans l’équatioit précédente , nous l'écrirons ainsi :

du df

’ \ dx ) du dx dx'

. Exemple» de différentiation.