APPLICATIONS DSS «ÈBIES DE TAYLOR .ET DE .MAC-LAURIN

Développement de Ij)g { x 4- A ) et calcul des logarithmes des nombres.

... , ■ , . . dl.op.-u Lo a e .. '.

D après le principe - on a en prenant les dérivées

successives de la foiictioh f(x)== Log {x)-: * .

f(x)=,Lo e x,f'(x)=^,nx)=- ^rw= .

La série de Taylor donne donc : . , .

(1).., Log(x-t-A)=I^x+Lo e . (|- £ + 8 *

Tel est le développement de Log (x -kA). • • •J'-

En remplaçant A par — A dans ce développement, il vient : '

. (2) — Log (x— A)=Loçx4-Log e ^ w .)

ANALYSE. 16

En retranchant (2) de (i), les termes contenant les puissances paires de A disparaissent, les termes contenant les -puissances impaires' de A sé doublent, et l’Qn trouve : . .

Log (ar+A)— Log [x—h)=sà Log e [ £ + ~ + A

) = 2 Los « [ 5 + sS + Si»

ou bien :

Cette série devient en y faisant <c — 1 :

M L °e ( iâ ) = 2 Loe *[ï + T + T + ]

Et si l’on pose :

en sorte que l'équation (*) devient :

^3*(2rM-l) sH

(fcs+t) 1

d’où :

* Log (n+l)=LogIn+ - 2 Log e 1

Telle est la série au moyen de laquelle on calcule les logarithmes des nombres.

Heman/ut. — La série : % ’ * . .

Lçg (c-hA) = Log x +• Log * [ £ — A* H- ]

donne pour un autre accroissement A' : ’ ■ *

Log (*+*')== Log x -+- Log e f + 1

De ces équations, on tire : ,

Log (x + A) — Log a:

l ïx

2 x f Sx 1

Log (*■ -+- A’j — Log x f A' A » .

Cette équation montre qne pour des valeurs de pins en plus grandes

de x, le second membre se rapproche de plus en plus du rapport

Donc : à mesure que les nombres augmentent, le rapport de leurs accroissements tend à deVentr égal à celui des accroissements de leurs logarithmes. ' * " *

Développements de log ( 1 -+- x )• et de log f 1 — x ).

Reprenons les développements :

• Log (x 4- h) =. Log 'x+ Log 3x> “ J'

Log (x-A) = Logx-t- Loge ^ ^ ^ ].

St l'on y suppose que e soit la base des logarithmes, si de plus 6a y fait x = 1, et si l’on ÿ remplace A par . x, il vient ;

log{l-t-x} = x- ¥ + T - r +

Exprfseione du einus et du cosinus d’un arc en fonction des exponentielles

• imaginaires e , e

d. cos x ^ — sinx. dx (1);

di sin x = cos x. dx.

Et en multipliant par V — »1 cette dernière équation : ‘ l/— î. d. sin x = — l.cosx. rfx (*)

ou bien :

d(s/-l . sin .r1= \/ — 1 . ços x. dx.

(*) Par définition, on dit que U dérivé* <fuoc eiprcsaiou imaginaire de la forme

, F f x l + V-i fie*) est F '( x ) ■+■ \/— *• f (*)i

Et . d [ F(x) fi*)] — E' xdx -f y'-r-I (> («> ix.,- • •

En retranchant (2) de ( I ), les termes contenant les 'puissances paires de A disparaissent, les termes contenant les yttiiSsancés impaires' de À se doablent, et l’on trouve :

Log (x-i-A) — Log [x—h)=à Log e [ £ 4- 4- ™

ou bien : ‘

Cette série devient en y faisant a — 1 :

Et si l’on pose :

i — , = 1 4- - on aura : A = s 1 •— A '• n Sn-f-l

en sorte que l'équation (*) devient :

L «g ( — — ) ,== ' 2 U8 e [s»+ 1 * î(S+ip + 5 (a»it)' il

d’où :

•Log(n+l)=Lo g :n + 2Log e [ ÿf| - , r 3 (2fl +T)S

Telle est la série au moyen de laquelle on calcule les logarithmes des nombres.

Hcmarqu*. — La série : ’ ....

L?g (*+A) = Log x + Log « [ î — 2i» + ]

donna pour un autre accroissement A' : '• 4

Log (x+A’) = Log x 4- Loge — ^ + J

De ces équations, on tire :

Log (x + A ; — Log x

, /. A A 1 kj ( 1— S& + 3i*

Log (« -t- A’j — Log x / A’ A’» \. .

'Cette équation montre que pour des valeurs de plus en plqs grande»

de x, 1b second membre se rapproche de plus en plus du rapport 4-,.

Donc : à mesure que les nombres augmentent, le rapport de leurs accroissements tend à deVenrr égal à celui des accroissements de leurs logarithmes.

Développements de log ( 1 4- x ) et de log f 1 — x ).

Reprenons les développements :

• Ug (* + *) = Log *-|- Log « ^ 4- - ].

Lo e [x — h)z~ Log * -t- Log e ^ g ].

Si l'on y suppose que e soit la base des logarithmes, si de plus On y fait x = i, et si l’on y remplace h par il rient ;

log (!—*)=>

Erprçsiioni du tinus et du cosinue d'un arc en fonction de» e-xponentielki

"On a :

... x \J — 1 —“jcv/— 1

imaginante e , e

d.cotxx — sin x. dx (1);

ds'sin x = cos x. dx.

Et en multipliant par \/ —1 cette dernière éejuation : ‘ t/~ 1 . d . gin x — \J — f . cos x. dx (*)

ou bien :

d(s/-l . sin .r)= y/ — 1. posa-, dx.

(*) Par définition, on dit que la dérivée d'uni- «pression imaginaire de 1a (orme

E» • d [ F(«) 4- \/ — 1 /‘(x)] F' jrdx \f-r-l

Et en ajoutant (1) et (2) il rient :

d. cO*x 4- d (l/’—t sin *) .= y/— t. cos-x. dx — sin *. dx. : ■

ou ce quj est la même chose :

d (cos x + \/— = l-cosjp.Ar4-(t/-‘l) 1 sina;.Ar.

Et par suite en mettant \/ — 1. dx en facteur commun dans le second membre : i ; .

d (cos a: 4- \/—i sin r) = (cdsx 4- \/—t. .sin.*) v/^t- dx.. • D’où :

Or t.-"

d (cos* 4 t/— l.'sinx) .

cos * 4- y/ — t . sijO *

d. (cos *4- y/ — 1. sin x

cos T 4- v'-i . sin x

On a donc :

= d. log (cos * 4- v/ — 1 sin *)• «

l/— 1. dx = d . (x. t/— ^î). .

J3) d log ( cas * 4- l/— 1. sin x) = d[x y/— 1).'

Mais on sait que si les différentielles de deux fonctions sont égalés, les fonctions ne diffèrent que par une conslaple.

L’équation (3) donne donc, C étant constante :*

W log (eas * 4 - sin *) =i x. y/'-Zi+.c.

Afin d’avoir la valeur de la constante C, jp fais *=0 dans (4) et j’ai : Log 1 == C. D’où 'C = 0.

L’équation (4) devient alors : , . > .. ■

• log(oos*4- \/— î- sit) *) = *. \/— ï.

Puisque e est la base des logarithmes, cette équation donne :

(a) cos x 4- 'Sj — 1. sin xz=e X ^ V ■ •

Cette nouvelle équation devient, en j remplaçant * par — * et.cn remarquant que cos {-r-*) = cosvr, sin ( — x] = — sin a:. ’ •

Ml

(6) cosx — v — 1. sma:==e.

Des éqaatfons.(a) et* (6), on tire ;

cosx =

sin ar =

j.|/-I — xv/-“l '

Telles sont les expressions cherchées.

* Développement Ai Urie de l'exprcfrion • tgx = m. tg a.

L'équation

tg x = m. tg o donne :

stn x cos * '

sin a ' cos a

Et en remplaçant ici les sinus et cosinus par leurs expressions çn' fonction des exponentielles imaginaires, -il Vient :\. • •'

x V 7 — 1 — x \/ — 1 • a\/ — 1 — al/ — 1

Ou ce qtii revient au même puisque e

e 2xv/-l

: ni

2xv/^n . •

De cette équation, on tire pour la valeur de e v : ‘

* » ■ • f 2xv/^n (1 4- m ] f 2nl/ 1 4- 1 — m

Ou bien :

Vl-i-mj

Appelons u le rapport et nous aurons en mettant t “ a * en facteur au numérateur du second membre

D’où en prenant les logarithmes népériens des deux membres de cette équation, il vient :

'W’^=2«v/-=î+log(t+«i e -2aV/=:î )-log(l-Mi .W-*)

Etpar suite : • '

Il ne reste plus qu’à développer en série' la partie située à droite de a, à cet effet dans le développement :

. Ipg (14- *) + y • •

Remplaçons successivement x par u. e * e ( p ar v ' ^

npus aurons :

—2a l/— 1 ■ 2al/ 1 ,r> —ka\/~\

io e i+«« “*)=«:«

u 3 — Cal/ — 1 + 3 *

log (1-

•2al/ — . 1 2nl/ — 1 u* 4av/ — 1

Et par soustraction, en ordonnait’ par rapport aux puissances de u :

, ” •2av'— 1> 2«\/— ,W^T — 2al/— L

Iog(l-Me v log(4+ue v ]=-u(« . —e ) +

Les deux membres de cette équation divisés par 2 l/^T donnent :

logtl-frus -2 '*^ -1 ) — \oÿ[l+Mt ia ^ / ~ i ) e* aV/ ' i -rf~ [ kV'-*

t — 4al/ -1 . i>a\/^î . — Gal/^ *

. T . • vn — .X- VïT " +

Mais d’après fe calcul du sinus . d’un arc en fonction des exponentielles imaginaires, on a : . * - .

4a V — 1 4at/ — 1

— = sin 4a, etc.

— = snr2a, -

L’équation précédente devient donc : log(l-H*.e 7 — .ogd+u.^)

=— u. sjn 2a-+- -j- sin 4a —

j sin 6a -+-

L’équation (1) donne dope par subétituiipn :

x=.a — .«. sm2a -4- -g si«4a->— -j sin. 6a -f- J Telle est l’expression demandée.

Vivelappemeni de tifl x./ •’

Soit la fonction'/ - (x) = sin x en prenant les dérivées successives, on a :

/■(x) = sin x ( . f[d)=± 0

f (x) = C0S x : • /*(x) =*’ — sin x H*) = — cos X ’ f"[jc) = + sin x

Et en faisant x=0 dans toutes ces équations, on trouve :

no) ..= i .

rm - »

Par conséquent, la série d£* Mac-Laurin appliquée à la fonction f[x) = sin x, nous donne : , "* , ,

Développement de cot x. .

Soit la fbnetion f :(.r) — cos x; ses dérivées successives sont I æ‘ *