u.+a 4- tende vers«zéro

Une série ne peut être employée dans te calcul qu'autant qu’elle est convergente; il est donc important de savoir reconnaître i quel caractère une série est convergente, et lorsqu'on s’arrête à un certain terme de la Série , de savoir quelle est l'erreur cotnmise eu prenant ponr somme, la somme des termes compris depots le premier jusqu’au terme où l’on s’arrête. * • '

ThéoSèjie I. — lorsque les termes d'une série sont alternativement positifs et négatifs, et qu'ils décroissent indéfiniment , la série est convergente et le premier des termes négligés représente l'approximation. .

• Soit la série ; . . . . .

<ç T* t|'4- ■ — fj 44. <»-fl + t a + 5 <„+»•••••'•••• •

telle que ' ’

Je dis qu’elle est convergente. " •

En effet, si fon-s'arrète au terme positif t„, on a fa somme •:

f„ — h 4- tj — <j +• t„ — a, * -

laquelle est plus grande que la somme totale des tenpps de la séries

car, st l’on appelle 2 cette somme totale, On a

ou ce qui est la même chose : f .•

Les différences entre parenthèse^ sent toutes positives, puisque

donc la somme ». est plus grande qne x. Je dis que si l’on arrêtes un terme négatif — f.+i , la somme

* fe • *

*«+ 1 = t , — l t 4- — fj 4-.” + f» — f»4'

bornée à ce terme est moindre que Ja somme totale X , des termes de la

série ; car on a : - ' * •* * ’■

. ï = *„ +i + f„ +a — L, -p •+• f « — 1„<^5 -h... ou on groupant les termes par différences : ,

2 = *»+l +■ tfn+ï fn-fj) + (L..+ V ft+i) +■••

. Chacune des différences est positive, -donc j„ xi est moindre que t> ' Ou a donc : •

far suite, si l’on prend >„ pour la somme de la séfie, l’erreur commise est < *„ — ».+, = r. + i. ; .. • ^ . , '■ ’

Donc, puisque t„ p est de plus en plus petit à mesure que h augmente, il en résulte que la série est convergente. —

Rrmurqut. — Lorsqué les termes d’une série sônl tous positifs, il ne sqflit pas qu’ils décroissent indéfiniment pour que jn série soit convérgenle. , v

Soit, par exemple, la série : *

Les le rm os de cçtte série sont indéfiniment décroissants, néanmoins cette série est flivergente.

En effet’ je partage les termes de cette jérte en groupes successifs lerminés chacun à un terme dont le dénominateur soit une puissance

île 2, cl j’obtfens pour chaque groupe :

5^6 4 î + 8 > 8 + 8^8ï , ~8 <iu 2

W+lt

4 *° + 14 ^ 15, + 16 ^ ÏO + 16 + fg'

vu 8 ï 6 0 ,, 2 :

Et ainsi de suite , la somme des termes de la série est donc plus grande que , ; ’

Cetté'somme Contiendra autant de fois = qu’on peut 1 imaginer , elle

est donc plus grande- que toute quantité donnée.

Il en serait de même de la série : • * *

Et en général

ivl.v4

t mêlant moindre quoi; car bas tenue*' de oette «éric étant pins glands que ceux de la série

• ' in

la somme de eelte séria est aussi plus grande. An contraire, la série :

est convergente lorsque m est plus grand que 1„

En effet, partageons les termes de cette série en groupes dont .chacun, coiqqtpnce par ou terme ayant au dénominateur tme puissance de 2, iioqs aurons : ‘

La soin nie dés’ termes' de la' série proposée est doiic plus petite ^uo la suite : . . . • .

1 ■ 1 , J. , tJ

Celte dernière suite est une progression géométrique décroissante , puisque sa raisotlV^jj est t jUlendu spie.» 1 > t •• r ; >>)

Donc la série proposée, étant moindre qu'une 'série convergente, est elle-même convergente. • .

Théorème II. — Lorsque , dont une série , à partir d'un certain terme, le rapport d'un terme au précédent a une limite déterminée inférieure à l'unité, cette série ut convergente ; elle est divergente si celte limite est plut grande que t unité. .

Soit la série : ' ■ -

Supposons qu’à partir du terme h +) , le rapport soit moindre . * , *" que le.nombre déterminé r-, lequel est moindre que i ; admettons que cela ait lieu aussi pour tous les termes suivants, alors on aura :

l„ + i < rt u »• 4 1 < r <» +i *»+»< ri.+j

On à donc : '

Et par suite

tn+,<rt.

»*-+-», -t-'t» +a -K < . </ 4 4-t, 4-<n-+- .. . 4 <„ (1 4-r -t-r 2 +... L’eapr.essiop L {1 -f-r 4- r, 4-...j = est finie /donc la série

proposée est convergente. ' •. >

Erreur commue en s'arrêtant au terme tà. — r La somrne X de» termes de la série est moindre que : ...

»«.H- 1| 4-»i,4--r»ii(l4-r4-r, -f-r,

L’erreur commise en s’arrêtant au terme t„ est donc moindre que :

rl,(l-)r + r 1 +r 1 4-... ) ou :

Remarque. — Si r = 1, il y a doute, la sérié peut être convergento’ou

divergente.

En effet, dans la série divergente

le rapport d'un terme au précédent tend vers l'unité à mesure que » augmente. * ■ '* *•

Théorème III. — On'peut toujours prendre n assez grand quel que

* co n

toit x, de telle torte que l’expression ■ devienne moindre que

toute quantité donnée. •

En effet, soit un nombre p plus grand que x, on a :

— i -+- n — p -+- 1 ; en sorte que l’on peut écrire : ■