XV— 1 X X X
Et si dans les facteurs
eh nombre n — p , on
remplace p + l,p + 2, n par p, on aurv
Or, ? est < 1, on pourra donc prendre a assez grand pour que l'ex-
-y deviennemoiirdreque toute quantité donnée. lien sera
/jjfl gpp ~ ’l * ^ •
donc de même de > puisque . a - „ * est une con-
1» 2. «i fl 1* «• O
stante.
Théorème IV. — Si la série à termes poülift
to ■+■ li + + lj 4 - -h tn +
est dbpvergente et si A„, A,, A a A„ sont des nombres constants
assujettie à ne pas dépasser un maximum-A, la série :
A 0 . t 9 -f- A,. t t -H A,. f 2 -f- Aj. ty -f- ....... -f- A„. t m *4- .à
est convergente. 1 ’ • . *
Puisque la série est convergente A partir d’un certain terme f„, la somme : •
est moindre que toute quantité donnée. . ; k *.
Donc A ( (* 4.1 4 (,,+a 4- ) est,aussi moindre que toute quantité
donnée.
Or : ‘ ■
Af+.rtfft-i + Amwf+ti 4 Ad+j l»4.3 4-...,... < A (.Cp ■ 4- C+? 4“ )
Donc la somme -
A.q.1, f,vf i 4- AVp,j, 4-
est elle •‘même moindre que toute quantité donnée et puisque Iq -f t, 4- 4 fj 4- 4- 1„ est jmè quantité inie, la somme
A 0 .' < 0 4- A,, t, 4- Aj.- t a
est aussi, tinie, c’est-à-dire .que la série : •
A 0 . t, 4- A t . t 2 + jVj. (j 4
est cçnvergeqje- • • , ‘ • .
Applications des théorèmes I, if, III et lV aux séries vues précédèinment.
La série : ’• - * • .
Los(«.4 ft)=rLoR*4*L©g ^ — <.../)
est convergente ponr h < r~[ théorème -I . '*
Les séries : • •
Log (l+Aj =s Log * ( fc — a - + y — )• '
* Logii— A)----Lo g * (a + £ 4 '£ 4
sont convergentes pour h <1 ( théorème 1 ). .
La sérto : ’•
est çonvcrgenle, puisque ses termes sont. alternativement positifs et ué-
gatife et vont en décroissant à partir d’un certain terme ( théorème III ) et si l'on s’arrête au premier terme, l’-erreur commise est moindre que
le suivant ( théorème I J. Donc, 1’errour commise en remplaçant
le sinus d'un arc par cet arc, est moindre que le sixième du cube de l’arc. ,
La série
est convergente ( théorème III ).
La série
03 ‘ fc v ’
est convergente, car à partir du rang n, le rapport d’un terme au •précédent est ~ ; on pourra donc ( théorème II ) prendre n assez grand pouif
que ce rapport devienne < I .
La série - • '
est convergente, car dans cette série ie rapport du terme de rang » au
X lof r d
précédent, a pour valeur — —, ; x et loge étant déterminés, on pourra
tl . •
prendre « assez grand pour que ce rapport soit < 1 , et cela aura lieu à fortiori pour les termes suivants.
Théorème. Si dans le développement de {[x -+- h ), on fait f =, a, et ti pour eette valeur, toutes tes dérivées successives ont des râleurs finies, on pour ni toujours donner à h une valeur assez petite pour qu'un terme quelconque du développement soit plus grand que la somme de tout ceux qui [e suivent.
On a :
' f(x+h) = f[x ) + *. r ~ rw + • • .
Et pour x = a •
Je -dis que : f (a), f" (a), f m (a) étant finies, on pourra toujours
AKALTSI. 17
prendre A assez petit , de telle sorte que l'on ait :
* f w > f" M + 0:3 * rw .+
ou :
rw >râ / ” w + r£s^" w+ (,)
Soit M la plus grande valeur absolue des dérivées successives; l’inégalité ) sera satisfaite si l’on a : •
rw > ^M + t4^m
ro
et encore, en remplaçant les dénominateurs par des dénominateurs moindres
f («) > M (jj -I- 2? -r gT -t- j.
Or.
On devra donc prendre pour A tyie valeur telle que l’on ail :
D’où :
< tw
Celle inégalité pourra toujours'étre satisfaite. Le principe est donc démontré. • ’>
